Theorem 2onn 7720

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2𝑜 ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 7561	. 2 ⊢ 2𝑜 = suc 1𝑜
2		1onn 7719	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
3		peano2 7086	. . 3 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → suc 1𝑜 ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1𝑜 ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2697	1 ⊢ 2𝑜 ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 1990  suc csuc 5725  ωcom 7065  1_𝑜c1o 7553  2_𝑜c2o 7554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-om 7066  df-1o 7560  df-2o 7561

This theorem is referenced by:  3onn  7721  nn2m  7730  nnneo  7731  nneob  7732  omopthlem1  7735  omopthlem2  7736  pwen  8133  en3  8197  en2eqpr  8830  en2eleq  8831  unctb  9027  infcdaabs  9028  ackbij1lem5  9046  sdom2en01  9124  fin56  9215  fin67  9217  fin1a2lem4  9225  alephexp1  9401  pwcfsdom  9405  alephom  9407  canthp1lem2  9475  pwxpndom2  9487  hash3  13194  hash2pr  13251  pr2pwpr  13261  rpnnen  14956  rexpen  14957  xpsfrnel  16223  symggen  17890  psgnunilem1  17913  znfld  19909  hauspwdom  21304  xpsmet  22187  xpsxms  22339  xpsms  22340  1oequni2o  33216  finxpreclem4  33231  finxp3o  33237  wepwso  37613  frlmpwfi  37668