Theorem rpnnen 14956

Description: The cardinality of the continuum is the same as the powerset of ω. This is a stronger statement than ruc 14972, which only asserts that ℝ is uncountable, i.e. has a cardinality larger than ω. The main proof is in two parts, rpnnen1 11820 and rpnnen2 14955, each showing an injection in one direction, and this last part uses sbth 8080 to prove that the sets are equinumerous. By constructing explicit injections, we avoid the use of AC. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpnnen	⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

Proof of Theorem rpnnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 11026	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2		qex 11800	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
3	1, 2	rpnnen1 11820	. . 3 ⊢ ℝ ≼ (ℚ ↑𝑚 ℕ)
4		qnnen 14942	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ≈ ℕ
5	1	canth2 8113	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≺ 𝒫 ℕ
6		ensdomtr 8096	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ 𝒫 ℕ) → ℚ ≺ 𝒫 ℕ)
7	4, 5, 6	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ ℚ ≺ 𝒫 ℕ
8		sdomdom 7983	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≺ 𝒫 ℕ → ℚ ≼ 𝒫 ℕ)
9		mapdom1 8125	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≼ 𝒫 ℕ → (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ))
10	7, 8, 9	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ)
11	1	pw2en 8067	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ (2𝑜 ↑𝑚 ℕ)
12	1	enref 7988	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ℕ
13		mapen 8124	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 ℕ ≈ (2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ∧ ℕ ≈ ℕ) → (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ≈ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ))
14	11, 12, 13	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ≈ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ)
15		domentr 8015	. . . . 5 ⊢ (((ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ≈ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ)) → (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ))
16	10, 14, 15	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ)
17		2onn 7720	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
18		mapxpen 8126	. . . . . . 7 ⊢ ((2𝑜 ∈ ω ∧ ℕ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ (2𝑜 ↑𝑚 (ℕ × ℕ)))
19	17, 1, 1, 18	mp3an 1424	. . . . . 6 ⊢ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ (2𝑜 ↑𝑚 (ℕ × ℕ))
20	17	elexi 3213	. . . . . . . 8 ⊢ 2𝑜 ∈ V
21	20	enref 7988	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ≈ 2𝑜
22		xpnnen 14939	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
23		mapen 8124	. . . . . . 7 ⊢ ((2𝑜 ≈ 2𝑜 ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → (2𝑜 ↑𝑚 (ℕ × ℕ)) ≈ (2𝑜 ↑𝑚 ℕ))
24	21, 22, 23	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ (2𝑜 ↑𝑚 (ℕ × ℕ)) ≈ (2𝑜 ↑𝑚 ℕ)
25	19, 24	entri 8010	. . . . 5 ⊢ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ (2𝑜 ↑𝑚 ℕ)
26	25, 11	entr4i 8013	. . . 4 ⊢ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ 𝒫 ℕ
27		domentr 8015	. . . 4 ⊢ (((ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ∧ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ 𝒫 ℕ) → (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 ℕ)
28	16, 26, 27	mp2an 708	. . 3 ⊢ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 ℕ
29		domtr 8009	. . 3 ⊢ ((ℝ ≼ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ∧ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 ℕ) → ℝ ≼ 𝒫 ℕ)
30	3, 28, 29	mp2an 708	. 2 ⊢ ℝ ≼ 𝒫 ℕ
31		rpnnen2 14955	. . 3 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
32		reex 10027	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
33		unitssre 12319	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
34		ssdomg 8001	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → ((0[,]1) ⊆ ℝ → (0[,]1) ≼ ℝ))
35	32, 33, 34	mp2 9	. . 3 ⊢ (0[,]1) ≼ ℝ
36		domtr 8009	. . 3 ⊢ ((𝒫 ℕ ≼ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ≼ ℝ) → 𝒫 ℕ ≼ ℝ)
37	31, 35, 36	mp2an 708	. 2 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ ℝ
38		sbth 8080	. 2 ⊢ ((ℝ ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≼ ℝ) → ℝ ≈ 𝒫 ℕ)
39	30, 37, 38	mp2an 708	1 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158   class class class wbr 4653   × cxp 5112  (class class class)co 6650  ωcom 7065  2_𝑜c2o 7554   ↑_𝑚 cmap 7857   ≈ cen 7952   ≼ cdom 7953   ≺ csdm 7954  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937  ℕcn 11020  ℚcq 11788  [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  rexpen  14957  cpnnen  14958  rucALT  14959  cnso  14976  2ndcredom  21253  opnreen  22634