Theorem znfld 19909

Description: The ℤ/nℤ structure is a finite field when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
znfld	⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)

Proof of Theorem znfld

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 15388	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnnn0 11299	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		zntos.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5	4	zncrng 19893	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ CRing)
7		crngring 18558	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
8	1, 2, 5, 7	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Ring)
9		hash2 13193	. . . . . . 7 ⊢ (#‘2𝑜) = 2
10		prmuz2 15408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
11		eluzle 11700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑁)
13		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14	4, 13	znhash 19907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
15	1, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (#‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
16	12, 15	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ (#‘(Base‘𝑌)))
17	9, 16	syl5eqbr 4688	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (#‘2𝑜) ≤ (#‘(Base‘𝑌)))
18		2onn 7720	. . . . . . . 8 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
19		nnfi 8153	. . . . . . . 8 ⊢ (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ∈ Fin
21		fvex 6201	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) ∈ V
22		hashdom 13168	. . . . . . 7 ⊢ ((2𝑜 ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ V) → ((#‘2𝑜) ≤ (#‘(Base‘𝑌)) ↔ 2𝑜 ≼ (Base‘𝑌)))
23	20, 21, 22	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ ((#‘2𝑜) ≤ (#‘(Base‘𝑌)) ↔ 2𝑜 ≼ (Base‘𝑌))
24	17, 23	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 2𝑜 ≼ (Base‘𝑌))
25	13	isnzr2 19263	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2𝑜 ≼ (Base‘𝑌)))
26	8, 24, 25	sylanbrc 698	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ NzRing)
27		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
28	4, 13, 27	znzrhfo 19896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
29	3, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
30		foelrn 6378	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
31		foelrn 6378	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))
32	30, 31	anim12dan 882	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
33	29, 32	sylan 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
34		reeanv 3107	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) ↔ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
35		euclemma 15425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁 ∥ 𝑧 ∨ 𝑁 ∥ 𝑤)))
36	35	3expb 1266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁 ∥ 𝑧 ∨ 𝑁 ∥ 𝑤)))
37	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑌 ∈ Ring)
38	27	zrhrhm 19860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
40		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
41		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑤 ∈ ℤ)
42		zringbas 19824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
43		zringmulr 19827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘ℤring)
44		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
45	42, 43, 44	rhmmul 18727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
46	39, 40, 41, 45	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
47	46	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌)))
48		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ)
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
50	4, 27, 49	zndvds0 19899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
51	3, 48, 50	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
52	47, 51	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
53	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54	4, 27, 49	zndvds0 19899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑧))
55	53, 40, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑧))
56	4, 27, 49	zndvds0 19899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑤))
57	53, 41, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑤))
58	55, 57	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌)) ↔ (𝑁 ∥ 𝑧 ∨ 𝑁 ∥ 𝑤)))
59	36, 52, 58	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
60	59	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
61		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
62	61	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌)))
63		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌)))
64	63	orbi1d 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → ((𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
65		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → (𝑦 = (0g‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌)))
66	65	orbi2d 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
67	64, 66	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
68	62, 67	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))) ↔ ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌)))))
69	60, 68	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
70	69	rexlimdvva 3038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
71	34, 70	syl5bir 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → ((∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
72	71	imp 445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
73	33, 72	syldan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
74	73	ralrimivva 2971	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
75	13, 44, 49	isdomn 19294	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Domn ↔ (𝑌 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
76	26, 74, 75	sylanbrc 698	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Domn)
77		isidom 19304	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
78	6, 76, 77	sylanbrc 698	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)
79	4, 13	znfi 19908	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
80	1, 79	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
81	13	fiidomfld 19308	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑌) ∈ Fin → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑌 ∈ Field))
82	80, 81	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑌 ∈ Field))
83	78, 82	mpbid 222	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   class class class wbr 4653  –onto→wfo 5886  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ωcom 7065  2_𝑜c2o 7554   ≼ cdom 7953  Fincfn 7955   · cmul 9941   ≤ cle 10075  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  #chash 13117   ∥ cdvds 14983  ℙcprime 15385  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  0_gc0g 16100  Ringcrg 18547  CRingccrg 18548   RingHom crh 18712  Fieldcfield 18748  NzRingcnzr 19257  Domncdomn 19280  IDomncidom 19281  ℤ_ringzring 19818  ℤRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-nzr 19258  df-rlreg 19283  df-domn 19284  df-idom 19285  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855

This theorem is referenced by:  znidomb  19910  lgsqrlem1  25071  lgsqrlem2  25072  lgsqrlem3  25073  lgsqrlem4  25074  lgseisenlem3  25102  lgseisenlem4  25103