Theorem abelthlem9 24194

Description: Lemma for abelth 24195. By adjusting the constant term, we can assume that the entire series converges to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
abelthlem9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧,𝑀   𝑅,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐴,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑦   𝑆,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem9

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2		0nn0 11307	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
4		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
5	1, 3, 4	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
6		nn0uz 11722	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7		0zd 11389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8		eqidd 2623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑚))
9	1	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
10		abelth.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
11	6, 7, 8, 9, 10	isumcl 14492	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
12	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
13	5, 12	subcld 10392	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) ∈ ℂ)
14	1	ffvelrnda 6359	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
15	13, 14	ifcld 4131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
16		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))
17	15, 16	fmptd 6385	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))):ℕ0⟶ℂ)
18	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
19	17	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
20		1e0p1 11552	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0 + 1)
21		1z 11407	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
22	20, 21	eqeltrri 2698	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
24		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
25	20	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘(0 + 1))
26	24, 25	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
27	26	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↔ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
28		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
30		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑖 = 0))
31		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑖))
32	30, 31	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
33		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) ∈ V
34		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴‘𝑖) ∈ V
35	33, 34	ifex 4156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) ∈ V
36	32, 16, 35	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
37	29, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
38		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ≠ 0)
39	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ≠ 0)
40	39	neneqd 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ¬ 𝑖 = 0)
41	40	iffalsed 4097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) = (𝐴‘𝑖))
42	37, 41	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
43	27, 42	sylan2br 493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
44	23, 43	seqfeq 12826	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , 𝐴))
45	6, 7, 8, 9, 10	isumclim2 14489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))
46	6, 18, 14, 45	clim2ser 14385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , 𝐴) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (seq0( + , 𝐴)‘0)))
47		0z 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
48		seq1 12814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , 𝐴)‘0) = (𝐴‘0))
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( + , 𝐴)‘0) = (𝐴‘0)
50	49	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (seq0( + , 𝐴)‘0)) = (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0))
51	46, 50	syl6breq 4694	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , 𝐴) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)))
52	44, 51	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)))
53	6, 18, 19, 52	clim2ser2 14386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0)))
54		seq1 12814	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘0))
55	47, 54	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘0)
56		iftrue 4092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
57	56, 16, 33	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
58	2, 57	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))
59	55, 58	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))
60	59	oveq2i 6661	. . . . . 6 ⊢ ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0)) = ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
61	1, 2, 4	sylancl 694	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
62		npncan2 10308	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘0) ∈ ℂ) → ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))) = 0)
63	11, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))) = 0)
64	60, 63	syl5eq 2668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0)) = 0)
65	53, 64	breqtrd 4679	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ 0)
66		seqex 12803	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ∈ V
67		c0ex 10034	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
68	66, 67	breldm 5329	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ 0 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
69	65, 68	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
70		abelth.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
71		abelth.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
72		abelth.5	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
73		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))
74	17, 69, 70, 71, 72, 73, 65	abelthlem8 24193	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅))
75	1, 10, 70, 71, 72	abelthlem2 24186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
76	75	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 1 ∈ 𝑆)
78	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
79		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥↑𝑖) = (1↑𝑖))
80		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℤ)
81		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (1↑𝑖) = 1)
83	79, 82	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑖) = 1)
84	78, 83	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
85	84	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
86		sumex 14418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1) ∈ V
87	85, 73, 86	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
88	77, 87	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
89		0zd 11389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℤ)
90	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
91	61, 11	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) ∈ ℂ)
92	91	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) ∈ ℂ)
93	1	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
94	93	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
95	92, 94	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
96	95	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
97	90, 96	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
98	96, 95	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1) ∈ ℂ)
99		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥↑𝑛) = (1↑𝑛))
100		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
101		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
103	99, 102	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑛) = 1)
104	103	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · 1))
105	104	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · 1))
106		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑚))
107	106	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑛) · 1) = ((𝐴‘𝑚) · 1))
108	107	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · 1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1)
109	105, 108	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1))
110		abelth.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
111		sumex 14418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1) ∈ V
112	109, 110, 111	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 ∈ 𝑆 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1))
113	76, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1))
114	9	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑚) · 1) = (𝐴‘𝑚))
115	114	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))
116	113, 115	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))
117	116	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) = (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
118	11	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) = 0)
119	117, 118	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) = 0)
120	65, 119	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
122	6, 89, 97, 98, 121	isumclim 14488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1) = ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
123	88, 122	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) = ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
124		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑𝑖) = (𝑦↑𝑖))
125	36, 124	oveqan12rd 6670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
126	125	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
127		sumex 14418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) ∈ V
128	126, 73, 127	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
129	128	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
130		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑦↑𝑘) = (𝑦↑𝑖))
131	32, 130	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
132		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))
133		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) ∈ V
134	131, 132, 133	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
135	134	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
136		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))} ⊆ ℂ
137	72, 136	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
139	138	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
140		expcl 12878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
141	139, 140	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
142	95, 141	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) ∈ ℂ)
143	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℕ0)
144	15	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
145		expcl 12878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
146	139, 145	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
147	144, 146	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) ∈ ℂ)
148	147, 132	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))):ℕ0⟶ℂ)
149	148	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
150	41	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
151	29, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
152	31, 130	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
153		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))
154		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)) ∈ V
155	152, 153, 154	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
156	29, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
157	150, 151, 156	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖))
158	27, 157	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖))
159	23, 158	seqfeq 12826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))))
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))))
161	14	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
162	161, 146	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)) ∈ ℂ)
163	162, 153	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))):ℕ0⟶ℂ)
164	163	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
165	155	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
166	94, 141	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)) ∈ ℂ)
167	1, 10, 70, 71, 72	abelthlem3 24187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
168	6, 89, 165, 166, 167	isumclim2 14489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
169		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑖))
170		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑖))
171	169, 170	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))
172	171	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖))
173	124	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
174	173	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
175	172, 174	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
176		sumex 14418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)) ∈ V
177	175, 110, 176	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
178	177	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
179	168, 178	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ (𝐹‘𝑦))
180	6, 143, 164, 179	clim2ser 14385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘𝑦) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0)))
181		seq1 12814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘0))
182	47, 181	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘0)
183		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘0))
184		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑦↑𝑘) = (𝑦↑0))
185	183, 184	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)))
186		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) ∈ V
187	185, 153, 186	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)))
188	2, 187	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0))
189	182, 188	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0))
190	139	exp0d 13002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦↑0) = 1)
191	190	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) = ((𝐴‘0) · 1))
192	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
193	192	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) = (𝐴‘0))
194	191, 193	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) = (𝐴‘0))
195	189, 194	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = (𝐴‘0))
196	195	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑦) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0)) = ((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)))
197	180, 196	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)))
198	160, 197	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)))
199	6, 143, 149, 198	clim2ser2 14386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0)))
200		seq1 12814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘0))
201	47, 200	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘0)
202	56, 184	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)))
203		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)) ∈ V
204	202, 132, 203	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)))
205	2, 204	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0))
206	201, 205	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0))
207	190	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · 1))
208	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
209	192, 208	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) ∈ ℂ)
210	209	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · 1) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
211	207, 210	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
212	206, 211	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
213	212	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0)) = (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))))
214	1, 10, 70, 71, 72, 110	abelthlem4 24188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
215	214	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
216	215, 192, 208	npncand 10416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))) = ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
217	213, 216	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0)) = ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
218	199, 217	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
219	6, 89, 135, 142, 218	isumclim 14488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) = ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
220	129, 219	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
221	123, 220	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦)) = (((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) − ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))))
222	214	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
223	222, 77	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
224	223, 215, 208	nnncan2d 10427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) − ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))) = ((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦)))
225	221, 224	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦)) = ((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦)))
226	225	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) = (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))))
227	226	breq1d 4663	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅 ↔ (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅))
228	227	imbi2d 330	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅)))
229	228	ralbidva 2985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅)))
230	229	rexbidv 3052	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅)))
231	230	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅)))
232	74, 231	mpbid 222	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  ifcif 4086  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ℝ⁺crp 11832  seqcseq 12801  ↑cexp 12860  abscabs 13974   ⇝ cli 14215  Σcsu 14416  ballcbl 19733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741

This theorem is referenced by:  abelth  24195