Theorem abelthlem9 24194

Description: Lemma for abelth 24195. By adjusting the constant term, we can assume that the entire series converges to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
abelth.2	|- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
abelth.3	|- ( ph -> M e. RR )
abelth.4	|- ( ph -> 0 <_ M )
abelth.5	|- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
abelth.6	|- F = ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
abelthlem9	|- ( ( ph /\ R e. RR+ ) -> E. w e. RR+ A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) )

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z, M   R, n, w, x, y, z   A, n, w, x, y, z   ph, n, w, x, y   w, F, y   S, n, w, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   S( z)   F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem9

Dummy variables i k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
2		0nn0 11307	. . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> 0 e. NN0 )
4		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 |- ( ( A : NN0 --> CC /\ 0 e. NN0 ) -> ( A ` 0 ) e. CC )
5	1, 3, 4	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` 0 ) e. CC )
6		nn0uz 11722	. . . . . . . 8 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
7		0zd 11389	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
8		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( A ` m ) = ( A ` m ) )
9	1	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( A ` m ) e. CC )
10		abelth.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
11	6, 7, 8, 9, 10	isumcl 14492	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. NN0 ( A ` m ) e. CC )
12	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> sum_ m e. NN0 ( A ` m ) e. CC )
13	5, 12	subcld 10392	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) e. CC )
14	1	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
15	13, 14	ifcld 4131	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) e. CC )
16		eqid 2622	. . . 4 |- ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) = ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) )
17	15, 16	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) : NN0 --> CC )
18	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
19	17	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) e. CC )
20		1e0p1 11552	. . . . . . . . . 10 |- 1 = ( 0 + 1 )
21		1z 11407	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
22	20, 21	eqeltrri 2698	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) e. ZZ
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 + 1 ) e. ZZ )
24		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
25	20	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) )
26	24, 25	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) )
27	26	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( i e. NN <-> i e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
28		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. NN -> i e. NN0 )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN0 )
30		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = i -> ( k = 0 <-> i = 0 ) )
31		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = i -> ( A ` k ) = ( A ` i ) )
32	30, 31	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = i -> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) = if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) )
33		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) e. _V
34		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A ` i ) e. _V
35	33, 34	ifex 4156	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) e. _V
36	32, 16, 35	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) = if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) )
37	29, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) = if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) )
38		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. NN -> i =/= 0 )
39	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i =/= 0 )
40	39	neneqd 2799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> -. i = 0 )
41	40	iffalsed 4097	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) = ( A ` i ) )
42	37, 41	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) = ( A ` i ) )
43	27, 42	sylan2br 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) = ( A ` i ) )
44	23, 43	seqfeq 12826	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ) = seq ( 0 + 1 ) ( + , A ) )
45	6, 7, 8, 9, 10	isumclim2 14489	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) ~~> sum_ m e. NN0 ( A ` m ) )
46	6, 18, 14, 45	clim2ser 14385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq ( 0 + 1 ) ( + , A ) ~~> ( sum_ m e. NN0 ( A ` m ) - ( seq 0 ( + , A ) ` 0 ) ) )
47		0z 11388	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
48		seq1 12814	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ZZ -> ( seq 0 ( + , A ) ` 0 ) = ( A ` 0 ) )
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( seq 0 ( + , A ) ` 0 ) = ( A ` 0 )
50	49	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 |- ( sum_ m e. NN0 ( A ` m ) - ( seq 0 ( + , A ) ` 0 ) ) = ( sum_ m e. NN0 ( A ` m ) - ( A ` 0 ) )
51	46, 50	syl6breq 4694	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq ( 0 + 1 ) ( + , A ) ~~> ( sum_ m e. NN0 ( A ` m ) - ( A ` 0 ) ) )
52	44, 51	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ph -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ) ~~> ( sum_ m e. NN0 ( A ` m ) - ( A ` 0 ) ) )
53	6, 18, 19, 52	clim2ser2 14386	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ) ~~> ( ( sum_ m e. NN0 ( A ` m ) - ( A ` 0 ) ) + ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ) ` 0 ) ) )
54		seq1 12814	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ) ` 0 ) = ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` 0 ) )
55	47, 54	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ) ` 0 ) = ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` 0 )
56		iftrue 4092	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) = ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) )
57	56, 16, 33	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` 0 ) = ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) )
58	2, 57	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` 0 ) = ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) )
59	55, 58	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ) ` 0 ) = ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) )
60	59	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( ( sum_ m e. NN0 ( A ` m ) - ( A ` 0 ) ) + ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ) ` 0 ) ) = ( ( sum_ m e. NN0 ( A ` m ) - ( A ` 0 ) ) + ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) )
61	1, 2, 4	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ` 0 ) e. CC )
62		npncan2 10308	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ m e. NN0 ( A ` m ) e. CC /\ ( A ` 0 ) e. CC ) -> ( ( sum_ m e. NN0 ( A ` m ) - ( A ` 0 ) ) + ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) ) = 0 )
63	11, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sum_ m e. NN0 ( A ` m ) - ( A ` 0 ) ) + ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) ) = 0 )
64	60, 63	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sum_ m e. NN0 ( A ` m ) - ( A ` 0 ) ) + ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ) ` 0 ) ) = 0 )
65	53, 64	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ) ~~> 0 )
66		seqex 12803	. . . . 5 |- seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ) e. _V
67		c0ex 10034	. . . . 5 |- 0 e. _V
68	66, 67	breldm 5329	. . . 4 |- ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ) ~~> 0 -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ) e. dom ~~> )
69	65, 68	syl 17	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ) e. dom ~~> )
70		abelth.3	. . 3 |- ( ph -> M e. RR )
71		abelth.4	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ M )
72		abelth.5	. . 3 |- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
73		eqid 2622	. . 3 |- ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) = ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) )
74	17, 69, 70, 71, 72, 73, 65	abelthlem8 24193	. 2 |- ( ( ph /\ R e. RR+ ) -> E. w e. RR+ A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` 1 ) - ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` y ) ) ) < R ) )
75	1, 10, 70, 71, 72	abelthlem2 24186	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 e. S /\ ( S \ { 1 } ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) )
76	75	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. S )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> 1 e. S )
78	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = 1 /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) = if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) )
79		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 1 -> ( x ^ i ) = ( 1 ^ i ) )
80		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. NN0 -> i e. ZZ )
81		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ZZ -> ( 1 ^ i ) = 1 )
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. NN0 -> ( 1 ^ i ) = 1 )
83	79, 82	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = 1 /\ i e. NN0 ) -> ( x ^ i ) = 1 )
84	78, 83	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = 1 /\ i e. NN0 ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) = ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. 1 ) )
85	84	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1 -> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) = sum_ i e. NN0 ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. 1 ) )
86		sumex 14418	. . . . . . . . . . . . 13 |- sum_ i e. NN0 ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. 1 ) e. _V
87	85, 73, 86	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. S -> ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` 1 ) = sum_ i e. NN0 ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. 1 ) )
88	77, 87	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` 1 ) = sum_ i e. NN0 ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. 1 ) )
89		0zd 11389	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> 0 e. ZZ )
90	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) = if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) )
91	61, 11	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) e. CC )
92	91	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) e. CC )
93	1	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( A ` i ) e. CC )
94	93	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( A ` i ) e. CC )
95	92, 94	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) e. CC )
96	95	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. 1 ) = if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) )
97	90, 96	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) = ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. 1 ) )
98	96, 95	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. 1 ) e. CC )
99		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = 1 -> ( x ^ n ) = ( 1 ^ n ) )
100		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
101		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. ZZ -> ( 1 ^ n ) = 1 )
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e. NN0 -> ( 1 ^ n ) = 1 )
103	99, 102	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x = 1 /\ n e. NN0 ) -> ( x ^ n ) = 1 )
104	103	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x = 1 /\ n e. NN0 ) -> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = ( ( A ` n ) x. 1 ) )
105	104	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = 1 -> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. 1 ) )
106		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = m -> ( A ` n ) = ( A ` m ) )
107	106	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = m -> ( ( A ` n ) x. 1 ) = ( ( A ` m ) x. 1 ) )
108	107	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. 1 ) = sum_ m e. NN0 ( ( A ` m ) x. 1 )
109	105, 108	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = 1 -> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = sum_ m e. NN0 ( ( A ` m ) x. 1 ) )
110		abelth.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F = ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
111		sumex 14418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- sum_ m e. NN0 ( ( A ` m ) x. 1 ) e. _V
112	109, 110, 111	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 e. S -> ( F ` 1 ) = sum_ m e. NN0 ( ( A ` m ) x. 1 ) )
113	76, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = sum_ m e. NN0 ( ( A ` m ) x. 1 ) )
114	9	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( A ` m ) x. 1 ) = ( A ` m ) )
115	114	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> sum_ m e. NN0 ( ( A ` m ) x. 1 ) = sum_ m e. NN0 ( A ` m ) )
116	113, 115	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = sum_ m e. NN0 ( A ` m ) )
117	116	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) = ( sum_ m e. NN0 ( A ` m ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) )
118	11	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sum_ m e. NN0 ( A ` m ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) = 0 )
119	117, 118	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) = 0 )
120	65, 119	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ) ~~> ( ( F ` 1 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) )
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ) ~~> ( ( F ` 1 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) )
122	6, 89, 97, 98, 121	isumclim 14488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> sum_ i e. NN0 ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. 1 ) = ( ( F ` 1 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) )
123	88, 122	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` 1 ) = ( ( F ` 1 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) )
124		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( x ^ i ) = ( y ^ i ) )
125	36, 124	oveqan12rd 6670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = y /\ i e. NN0 ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) = ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. ( y ^ i ) ) )
126	125	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) = sum_ i e. NN0 ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. ( y ^ i ) ) )
127		sumex 14418	. . . . . . . . . . . . 13 |- sum_ i e. NN0 ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. ( y ^ i ) ) e. _V
128	126, 73, 127	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. S -> ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` y ) = sum_ i e. NN0 ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. ( y ^ i ) ) )
129	128	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` y ) = sum_ i e. NN0 ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. ( y ^ i ) ) )
130		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = i -> ( y ^ k ) = ( y ^ i ) )
131	32, 130	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = i -> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) = ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. ( y ^ i ) ) )
132		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) )
133		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. ( y ^ i ) ) e. _V
134	131, 132, 133	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ` i ) = ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. ( y ^ i ) ) )
135	134	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ` i ) = ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. ( y ^ i ) ) )
136		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) } C_ CC
137	72, 136	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S C_ CC
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S C_ CC )
139	138	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> y e. CC )
140		expcl 12878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CC /\ i e. NN0 ) -> ( y ^ i ) e. CC )
141	139, 140	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( y ^ i ) e. CC )
142	95, 141	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. ( y ^ i ) ) e. CC )
143	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> 0 e. NN0 )
144	15	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ k e. NN0 ) -> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) e. CC )
145		expcl 12878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( y ^ k ) e. CC )
146	139, 145	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ k e. NN0 ) -> ( y ^ k ) e. CC )
147	144, 146	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ k e. NN0 ) -> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) e. CC )
148	147, 132	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) : NN0 --> CC )
149	148	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ` i ) e. CC )
150	41	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. ( y ^ i ) ) = ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) )
151	29, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ` i ) = ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. ( y ^ i ) ) )
152	31, 130	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = i -> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) = ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) )
153		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) )
154		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) e. _V
155	152, 153, 154	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ` i ) = ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) )
156	29, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ` i ) = ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) )
157	150, 151, 156	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ` i ) = ( ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ` i ) )
158	27, 157	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ` i ) = ( ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ` i ) )
159	23, 158	seqfeq 12826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ) = seq ( 0 + 1 ) ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ) )
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ) = seq ( 0 + 1 ) ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ) )
161	14	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
162	161, 146	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) e. CC )
163	162, 153	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) : NN0 --> CC )
164	163	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ` i ) e. CC )
165	155	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ` i ) = ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) )
166	94, 141	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) e. CC )
167	1, 10, 70, 71, 72	abelthlem3 24187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
168	6, 89, 165, 166, 167	isumclim2 14489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ~~> sum_ i e. NN0 ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) )
169		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n = i -> ( A ` n ) = ( A ` i ) )
170		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n = i -> ( x ^ n ) = ( x ^ i ) )
171	169, 170	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = i -> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = ( ( A ` i ) x. ( x ^ i ) ) )
172	171	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = sum_ i e. NN0 ( ( A ` i ) x. ( x ^ i ) )
173	124	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( ( A ` i ) x. ( x ^ i ) ) = ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) )
174	173	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> sum_ i e. NN0 ( ( A ` i ) x. ( x ^ i ) ) = sum_ i e. NN0 ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) )
175	172, 174	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = sum_ i e. NN0 ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) )
176		sumex 14418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- sum_ i e. NN0 ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) e. _V
177	175, 110, 176	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. S -> ( F ` y ) = sum_ i e. NN0 ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) )
178	177	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( F ` y ) = sum_ i e. NN0 ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) )
179	168, 178	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ~~> ( F ` y ) )
180	6, 143, 164, 179	clim2ser 14385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ~~> ( ( F ` y ) - ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ` 0 ) ) )
181		seq1 12814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 e. ZZ -> ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ` 0 ) = ( ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ` 0 ) )
182	47, 181	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ` 0 ) = ( ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ` 0 )
183		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = 0 -> ( A ` k ) = ( A ` 0 ) )
184		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = 0 -> ( y ^ k ) = ( y ^ 0 ) )
185	183, 184	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = 0 -> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) = ( ( A ` 0 ) x. ( y ^ 0 ) ) )
186		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A ` 0 ) x. ( y ^ 0 ) ) e. _V
187	185, 153, 186	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ` 0 ) = ( ( A ` 0 ) x. ( y ^ 0 ) ) )
188	2, 187	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ` 0 ) = ( ( A ` 0 ) x. ( y ^ 0 ) )
189	182, 188	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ` 0 ) = ( ( A ` 0 ) x. ( y ^ 0 ) )
190	139	exp0d 13002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( y ^ 0 ) = 1 )
191	190	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( A ` 0 ) x. ( y ^ 0 ) ) = ( ( A ` 0 ) x. 1 ) )
192	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( A ` 0 ) e. CC )
193	192	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( A ` 0 ) x. 1 ) = ( A ` 0 ) )
194	191, 193	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( A ` 0 ) x. ( y ^ 0 ) ) = ( A ` 0 ) )
195	189, 194	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ` 0 ) = ( A ` 0 ) )
196	195	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( F ` y ) - ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ` 0 ) ) = ( ( F ` y ) - ( A ` 0 ) ) )
197	180, 196	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ~~> ( ( F ` y ) - ( A ` 0 ) ) )
198	160, 197	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ~~> ( ( F ` y ) - ( A ` 0 ) ) )
199	6, 143, 149, 198	clim2ser2 14386	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ~~> ( ( ( F ` y ) - ( A ` 0 ) ) + ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ` 0 ) ) )
200		seq1 12814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 e. ZZ -> ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ` 0 ) = ( ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ` 0 ) )
201	47, 200	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ` 0 ) = ( ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ` 0 )
202	56, 184	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 0 -> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) = ( ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) x. ( y ^ 0 ) ) )
203		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) x. ( y ^ 0 ) ) e. _V
204	202, 132, 203	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ` 0 ) = ( ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) x. ( y ^ 0 ) ) )
205	2, 204	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ` 0 ) = ( ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) x. ( y ^ 0 ) )
206	201, 205	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ` 0 ) = ( ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) x. ( y ^ 0 ) )
207	190	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) x. ( y ^ 0 ) ) = ( ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) x. 1 ) )
208	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> sum_ m e. NN0 ( A ` m ) e. CC )
209	192, 208	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) e. CC )
210	209	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) x. 1 ) = ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) )
211	207, 210	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) x. ( y ^ 0 ) ) = ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) )
212	206, 211	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ` 0 ) = ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) )
213	212	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( ( F ` y ) - ( A ` 0 ) ) + ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ` 0 ) ) = ( ( ( F ` y ) - ( A ` 0 ) ) + ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) ) )
214	1, 10, 70, 71, 72, 110	abelthlem4 24188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : S --> CC )
215	214	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( F ` y ) e. CC )
216	215, 192, 208	npncand 10416	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( ( F ` y ) - ( A ` 0 ) ) + ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) ) = ( ( F ` y ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) )
217	213, 216	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( ( F ` y ) - ( A ` 0 ) ) + ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ` 0 ) ) = ( ( F ` y ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) )
218	199, 217	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ) ~~> ( ( F ` y ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) )
219	6, 89, 135, 142, 218	isumclim 14488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> sum_ i e. NN0 ( if ( i = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` i ) ) x. ( y ^ i ) ) = ( ( F ` y ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) )
220	129, 219	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` y ) = ( ( F ` y ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) )
221	123, 220	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` 1 ) - ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` y ) ) = ( ( ( F ` 1 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) - ( ( F ` y ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) ) )
222	214	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> F : S --> CC )
223	222, 77	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( F ` 1 ) e. CC )
224	223, 215, 208	nnncan2d 10427	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( ( F ` 1 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) - ( ( F ` y ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) ) = ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) )
225	221, 224	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` 1 ) - ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` y ) ) = ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) )
226	225	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( abs ` ( ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` 1 ) - ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) )
227	226	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` 1 ) - ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` y ) ) ) < R <-> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) )
228	227	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` 1 ) - ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` y ) ) ) < R ) <-> ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) ) )
229	228	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` 1 ) - ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` y ) ) ) < R ) <-> A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) ) )
230	229	rexbidv 3052	. . 3 |- ( ph -> ( E. w e. RR+ A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` 1 ) - ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` y ) ) ) < R ) <-> E. w e. RR+ A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) ) )
231	230	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ R e. RR+ ) -> ( E. w e. RR+ A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` 1 ) - ( ( x e. S |-> sum_ i e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k = 0 , ( ( A ` 0 ) - sum_ m e. NN0 ( A ` m ) ) , ( A ` k ) ) ) ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) ` y ) ) ) < R ) <-> E. w e. RR+ A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) ) )
232	74, 231	mpbid 222	1 |- ( ( ph /\ R e. RR+ ) -> E. w e. RR+ A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   ballcbl 19733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741

This theorem is referenced by:  abelth  24195