axcontlem7 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > axcontlem7		Structured version Visualization version GIF version

Theorem axcontlem7 25850

Description: Lemma for axcont 25856. Given two points in 𝐷, one preceeds the other iff its scaling constant is less than the other point's. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
axcontlem7.1	⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem7.2	⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}

**Assertion**
Ref	Expression
axcontlem7	⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))

Distinct variable groups: 𝑡,𝐷,𝑥 𝑖,𝐹,𝑡 𝑖,𝑝,𝑥,𝑁,𝑡 𝑃,𝑖,𝑡,𝑥 𝑄,𝑖,𝑡,𝑥 𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥 𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐷(𝑖,𝑝) 𝑃(𝑝) 𝑄(𝑝) 𝐹(𝑥,𝑝)

**Proof of Theorem axcontlem7**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcontlem7.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
2		ssrab2 3687	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ⊆ (𝔼‘𝑁)
3	1, 2	eqsstri 3635	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝔼‘𝑁)
4	3	sseli 3599	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐷 → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
5	4	ad2antrl 764	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		simpll2 1101	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
7	3	sseli 3599	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐷 → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
8	7	ad2antll 765	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		brbtwn 25779	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖)))))
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1326	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖)))))
11		axcontlem7.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}
12	1, 11	axcontlem6 25849	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))
13	1, 11	axcontlem6 25849	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑄 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
14	12, 13	anim12dan 882	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
15		an4 865	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
16		r19.26 3064	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
17	16	anbi2i 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
18	15, 17	bitr4i 267	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
19		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) → (𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))
20		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) → (𝑡 · (𝑄‘𝑖)) = (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
21	20	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
22	19, 21	eqeqan12d 2638	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) → ((𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
23	22	ralimi 2952	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
24		ralbi 3068	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
26	25	rexbidv 3052	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
27		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
28		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
29	27, 28	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
30		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
31		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)
32	30, 31	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)
33		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
34		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
35	33, 34	elicc2i 12239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
36	35	simp1bi 1076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
37	36	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
38	37	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑡 ∈ ℂ)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℂ)
40		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑃)))
41	40	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
42	41	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
44	43	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
46		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄)))
47	46	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ)
48	47	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
50	49	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
52		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
53		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → 𝑡 ∈ ℂ)
54		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
55	53, 54	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
56		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) → (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ)
57	52, 55, 56	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ)
58		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
59	52, 58	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
60	59	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
61	60	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
62		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
63	57, 61, 62	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) − (1 − (𝐹‘𝑃))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))))
64		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
65		nnncan1 10317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) → ((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) − (1 − (𝐹‘𝑃))) = ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
66	52, 65	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) → ((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) − (1 − (𝐹‘𝑃))) = ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
67	55, 64, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) − (1 − (𝐹‘𝑃))) = ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
68	67	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) − (1 − (𝐹‘𝑃))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)))
69		subdi 10463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
70	52, 69	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
71		mulid1 10037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ → (𝑡 · 1) = 𝑡)
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · 1) = 𝑡)
73	72	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
74	70, 73	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
75	53, 54, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
76	75	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄)))) = ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))))
77		npncan 10302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) = (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
78	52, 77	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) = (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
79	53, 55, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) = (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
80	76, 79	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = ((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄)))))
81	80	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄)))) · (𝑍‘𝑖)))
82		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
83	52, 82	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
84	83	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
86		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
87	52, 86	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
88	87	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
90	53, 89	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ)
91	85, 90, 62	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄)))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖))))
92	53, 89, 62	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))))
93	92	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))))
94	81, 91, 93	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))))
95	94	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))))
96	63, 68, 95	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))))
97		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)
98	64, 55, 97	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − ((𝑡 · (𝐹‘𝑄)) · (𝑈‘𝑖))))
99	53, 54, 97	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝑡 · (𝐹‘𝑄)) · (𝑈‘𝑖)) = (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))
100	99	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − ((𝑡 · (𝐹‘𝑄)) · (𝑈‘𝑖))) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
101	98, 100	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
102	96, 101	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) ↔ ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
103	61, 62	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ)
104	64, 97	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) ∈ ℂ)
105	85, 62	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ)
106	89, 62	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ)
107	53, 106	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))) ∈ ℂ)
108	105, 107	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) ∈ ℂ)
109	54, 97	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)) ∈ ℂ)
110	53, 109	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∈ ℂ)
111	103, 104, 108, 110	addsubeq4d 10443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ↔ ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
112	105, 107, 110	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
113	53, 106, 109	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) = ((𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
114	113	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
115	112, 114	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
116	115	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
117	102, 111, 116	3bitr2rd 297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖))))
118	29, 32, 39, 45, 51, 117	syl23anc 1333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖))))
119	118	ralbidva 2985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖))))
120	39, 51	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
121	45, 120	subcld 10392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ)
122		mulcan1g 10680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ ∧ (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
123	121, 29, 32, 122	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
124	123	ralbidva 2985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
125		r19.32v 3083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
126		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑍 ≠ 𝑈)
127	126	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ¬ 𝑍 = 𝑈)
128		biorf 420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑍 = 𝑈 → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ↔ (𝑍 = 𝑈 ∨ ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0)))
129		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑍 = 𝑈 ∨ ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈))
130	128, 129	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑍 = 𝑈 → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈)))
131	127, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈)))
132	38, 50	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
133	44, 132	subeq0ad 10402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
134		eqeefv 25783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
135	134	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
137	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
138	137	orbi2d 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
139	131, 133, 138	3bitr3rd 299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)) ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
140	125, 139	syl5bb 272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)) ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
141	119, 124, 140	3bitrd 294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
142	141	anassrs 680	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
143	142	rexbidva 3049	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
144	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
145		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
146	46	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄)))
147	146	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄)))
148	35	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1)
149	148	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1)
150		lemul1a 10877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑡 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄))) ∧ 𝑡 ≤ 1) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑄)))
151	144, 145, 147, 149, 150	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑄)))
152	48	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
153	152	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐹‘𝑄)) = (𝐹‘𝑄))
154	151, 153	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ≤ (𝐹‘𝑄))
155		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ↔ (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ≤ (𝐹‘𝑄)))
156	154, 155	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
157	156	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
158		0elunit 12290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
159		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑃) = 0)
160	48	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (0 · (𝐹‘𝑄)) = 0)
161	160	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (0 · (𝐹‘𝑄)) = 0)
162	159, 161	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑃) = (0 · (𝐹‘𝑄)))
163		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) = (0 · (𝐹‘𝑄)))
164	163	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 0 → ((𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ↔ (𝐹‘𝑃) = (0 · (𝐹‘𝑄))))
165	164	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ (𝐹‘𝑃) = (0 · (𝐹‘𝑄))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))
166	158, 162, 165	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))
167	166	adantrl 752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))
168	167	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
169	168	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = 0 → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))))
170		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))
171	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
172	171	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
173	40	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝑃))
174	173	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑃))
175	174	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑃))
176	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ)
177	176	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ)
178		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → 0 ∈ ℝ)
179		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≠ 0)
180	172, 175, 179	ne0gt0d 10174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → 0 < (𝐹‘𝑃))
181	178, 172, 177, 180, 170	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → 0 < (𝐹‘𝑄))
182		divelunit 12314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑃)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑄))) → (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) ∈ (0[,]1) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
183	172, 175, 177, 181, 182	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) ∈ (0[,]1) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
184	170, 183	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → ((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) ∈ (0[,]1))
185	43	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
186	49	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
187	181	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑄) ≠ 0)
188	185, 186, 187	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑄)) = (𝐹‘𝑃))
189	188	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) = (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑄)))
190		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = ((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) = (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑄)))
191	190	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = ((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) → ((𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ↔ (𝐹‘𝑃) = (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑄))))
192	191	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) ∈ (0[,]1) ∧ (𝐹‘𝑃) = (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑄))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))
193	184, 189, 192	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))
194	193	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ≠ 0 → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))))
195	169, 194	pm2.61ine 2877	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
196	157, 195	impbid 202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
197	196	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
198	143, 197	bitrd 268	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
199	26, 198	sylan9bbr 737	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
200	199	anasss 679	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
201	18, 200	sylan2b 492	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
202	14, 201	syldan 487	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
203	10, 202	bitrd 268	1 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∨ wo 383 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 ∃wrex 2913 {crab 2916 ⟨cop 4183 class class class wbr 4653 {copab 4712 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 +∞cpnf 10071 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 / cdiv 10684 ℕcn 11020 [,)cico 12177 [,]cicc 12178 ...cfz 12326 𝔼cee 25768 Btwn cbtwn 25769

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-z 11378 df-uz 11688 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-ee 25771 df-btwn 25772

This theorem is referenced by: axcontlem9 25852

W3C validator