axcontlem8 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > axcontlem8		Structured version Visualization version GIF version

Theorem axcontlem8 25851

Description: Lemma for axcont 25856. A point in 𝐷 is between two others if its function value falls in the middle. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
axcontlem8.1	⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem8.2	⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}

**Assertion**
Ref	Expression
axcontlem8	⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) → (((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑅⟩))

Distinct variable groups: 𝐷,𝑝,𝑡,𝑥 𝐹,𝑝,𝑖,𝑡 𝑥,𝑖,𝑁,𝑝,𝑡 𝑃,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥 𝑄,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥 𝑅,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥 𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥 𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐷(𝑖) 𝐹(𝑥)

**Proof of Theorem axcontlem8**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcontlem8.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
2		axcontlem8.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}
3	1, 2	axcontlem6 25849	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))
4	3	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → (𝑃 ∈ 𝐷 → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))))
5	1, 2	axcontlem6 25849	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑄 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
6	5	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → (𝑄 ∈ 𝐷 → ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
7	1, 2	axcontlem6 25849	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑅 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))
8	7	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → (𝑅 ∈ 𝐷 → ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
9	4, 6, 8	3anim123d 1406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷) → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))))
10	9	imp 445	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
11	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
12		3an6 1409	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
13		0elunit 12290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
14		simplr1 1103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → (𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞))
15	14	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞))
16		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑃)))
17	16	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
19	18	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
20		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))
22		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))
23		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅))
24	22, 23	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑃))
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑃))
26		simplr2 1104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))
27	26	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))
28		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄)))
29	28	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ)
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ)
31	18, 30	letri3d 10179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) ↔ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑃))))
32	21, 25, 31	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄))
33		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅))
34		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
36	35	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
37		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
38	36, 37	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
39		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
41	40	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
42		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)
43	41, 42	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)
44		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
45		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
46		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
47	44, 45, 46	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
48		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
49	47, 48	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ)
50		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) ∈ ℂ)
51	50	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) ∈ ℂ)
52	49, 51	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∈ ℂ)
53	52	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))
54	52	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (0 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) = 0)
55	53, 54	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))) = ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) + 0))
56	52	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) + 0) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))
57	55, 56	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))))
58	57	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))))
59		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) → (1 − (𝐹‘𝑃)) = (1 − (𝐹‘𝑄)))
60	59	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) → ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) = ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))
61		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) → ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) = ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))
62	60, 61	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) → (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))
63		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) → (1 − (𝐹‘𝑃)) = (1 − (𝐹‘𝑅)))
64	63	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) → ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) = ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)))
65		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) → ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) = ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))
66	64, 65	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) → (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))
67	66	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) → (0 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) = (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))
68	67	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) → ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
69	62, 68	eqeqan12d 2638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅)) → ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))))
70	69	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))))
71	58, 70	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
72	19, 32, 33, 38, 43, 71	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
73	72	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
74		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
75		1m0e1 11131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 − 0) = 1
76	74, 75	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = 1)
77	76	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) = (1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))
78		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) = (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))
79	77, 78	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 0 → (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
80	79	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 0 → ((((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))))
81	80	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))))
82	81	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
83	13, 73, 82	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
84	83	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) → (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))))
85	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))
86	85, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ)
87		simplr3 1105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))
89		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑅)))
90	89	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑅) ∈ ℝ)
91	88, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑅) ∈ ℝ)
92	14	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞))
93	92, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
94		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))
95	86, 91, 93, 94	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ≤ ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))
96	86, 93	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ)
97		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))
98	86, 93	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
99	97, 98	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)))
100	91, 93	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ)
101	93, 86, 91, 97, 94	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑅))
102		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅))
103	102	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑅) ≠ (𝐹‘𝑃))
104	93, 91	ltlend 10182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ((𝐹‘𝑃) < (𝐹‘𝑅) ↔ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑅) ≠ (𝐹‘𝑃))))
105	101, 103, 104	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑃) < (𝐹‘𝑅))
106	93, 91	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ((𝐹‘𝑃) < (𝐹‘𝑅) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))))
107	105, 106	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → 0 < ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))
108		divelunit 12314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃))) ∧ (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ≤ ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))))
109	96, 99, 100, 107, 108	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ≤ ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))))
110	95, 109	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) ∈ (0[,]1))
111	14	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞))
112	17	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
113	111, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
114		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅))
115	26	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))
116	29	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
118	87	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))
119	90	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ)
120	118, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ)
121	34	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
122	121, 37	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
123	39	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
124	123, 42	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)
125		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ)
126		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
127	125, 126	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
128		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
129	44, 128, 46	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
130	127, 129	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) ∈ ℂ)
131	126, 128	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
132		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑅)) ∈ ℂ)
133	44, 125, 132	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑅)) ∈ ℂ)
134	131, 133	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))) ∈ ℂ)
135	125, 128	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
136		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅))
137	136	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑅) ≠ (𝐹‘𝑃))
138	125, 128, 137	subne0d 10401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) ≠ 0)
139	130, 134, 135, 138	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))))
140	135	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · 1) = ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))
141	135, 126	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑄)) = ((𝐹‘𝑄) · ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))))
142	126, 125, 128	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑄) · ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))))
143	141, 142	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑄)) = (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))))
144	140, 143	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · 1) − (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑄))) = (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) − (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃)))))
145		subdi 10463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · 1) − (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑄))))
146	44, 145	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · 1) − (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑄))))
147	135, 126, 146	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · 1) − (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑄))))
148		subdi 10463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · 1) − (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃))))
149	44, 148	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · 1) − (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃))))
150	127, 128, 149	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · 1) − (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃))))
151	127	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · 1) = ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)))
152	125, 126, 128	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) = (((𝐹‘𝑅) · (𝐹‘𝑃)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))))
153	125, 128	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑅) · (𝐹‘𝑃)) = ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)))
154	153	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) · (𝐹‘𝑃)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))) = (((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))))
155	152, 154	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) = (((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))))
156	151, 155	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · 1) − (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃))) = (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) − (((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃)))))
157	150, 156	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) = (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) − (((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃)))))
158		subdi 10463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))) = ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · 1) − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅))))
159	44, 158	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))) = ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · 1) − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅))))
160	131, 125, 159	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))) = ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · 1) − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅))))
161	131	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · 1) = ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)))
162	126, 128, 125	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅)) = (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅))))
163	161, 162	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · 1) − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅))) = (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) − (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)))))
164	160, 163	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))) = (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) − (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)))))
165	157, 164	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) − (((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃)))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) − (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅))))))
166	128, 125	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) ∈ ℂ)
167	126, 128	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
168	166, 167	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))) ∈ ℂ)
169		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) ∈ ℂ)
170	169	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) ∈ ℂ)
171	170, 166	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅))) ∈ ℂ)
172	127, 131, 168, 171	addsub4d 10439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) + ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃))) − ((((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅))))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) − (((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃)))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) − (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅))))))
173	125, 126, 128	npncand 10416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) + ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃))) = ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))
174	166, 167, 170	npncan3d 10428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)))) = (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))))
175	173, 174	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) + ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃))) − ((((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅))))) = (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) − (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃)))))
176	165, 172, 175	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) = (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) − (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃)))))
177	144, 147, 176	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅)))))
178	130, 134	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) ∈ ℂ)
179		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
180	44, 126, 179	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
181	178, 135, 180, 138	divmuld 10823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (1 − (𝐹‘𝑄)) ↔ (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))))))
182	177, 181	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (1 − (𝐹‘𝑄)))
183	127, 129, 135, 138	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑃))))
184	135, 131, 135, 138	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) − ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))))
185	125, 126, 128	nnncan2d 10427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) − ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃))) = ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)))
186	185	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) − ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))))
187	135, 138	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = 1)
188	187	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) = (1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))))
189	184, 186, 188	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))))
190	189	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) = ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))))
191	183, 190	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))))
192	131, 133, 135, 138	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅))))
193	191, 192	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅)))))
194	139, 182, 193	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑄)) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅)))))
195	194	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) = ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) · (𝑍‘𝑖)))
196	127, 128	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
197	131, 125	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅)) ∈ ℂ)
198	196, 197, 135, 138	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))))
199	155, 162	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅))) = ((((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)))))
200	174, 199, 143	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑄)) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅))))
201	196, 197	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅))) ∈ ℂ)
202	201, 135, 126, 138	divmuld 10823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (𝐹‘𝑄) ↔ (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑄)) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅)))))
203	200, 202	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (𝐹‘𝑄))
204	127, 128, 135, 138	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑃)))
205	189	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑃)) = ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)))
206	204, 205	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)))
207	131, 125, 135, 138	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅)))
208	206, 207	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅))))
209	198, 203, 208	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑄) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅))))
210	209	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)) = ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅))) · (𝑈‘𝑖)))
211	195, 210	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) · (𝑍‘𝑖)) + ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅))) · (𝑈‘𝑖))))
212	131, 135, 138	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) ∈ ℂ)
213		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) ∈ ℂ) → (1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) ∈ ℂ)
214	44, 212, 213	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) ∈ ℂ)
215		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
216	129, 215	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ)
217	214, 216	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) ∈ ℂ)
218	133, 215	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ)
219	212, 218	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖))) ∈ ℂ)
220		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)
221	128, 220	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) ∈ ℂ)
222	214, 221	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∈ ℂ)
223	125, 220	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)) ∈ ℂ)
224	212, 223	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))) ∈ ℂ)
225	217, 219, 222, 224	add4d 10264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)))) + (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) = ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) + ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
226	214, 129	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) ∈ ℂ)
227	212, 133	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅))) ∈ ℂ)
228	226, 227, 215	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) · (𝑍‘𝑖)) = ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) · (𝑍‘𝑖)) + (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅))) · (𝑍‘𝑖))))
229	214, 129, 215	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) · (𝑍‘𝑖)) = ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))))
230	212, 133, 215	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅))) · (𝑍‘𝑖)) = ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖))))
231	229, 230	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) · (𝑍‘𝑖)) + (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅))) · (𝑍‘𝑖))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)))))
232	228, 231	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)))))
233	214, 128	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
234	212, 125	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅)) ∈ ℂ)
235	233, 234, 220	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅))) · (𝑈‘𝑖)) = ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) · (𝑈‘𝑖)) + (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅)) · (𝑈‘𝑖))))
236	214, 128, 220	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) · (𝑈‘𝑖)) = ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))
237	212, 125, 220	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅)) · (𝑈‘𝑖)) = ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))
238	236, 237	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) · (𝑈‘𝑖)) + (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅)) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))
239	235, 238	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅))) · (𝑈‘𝑖)) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))
240	232, 239	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) · (𝑍‘𝑖)) + ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅))) · (𝑈‘𝑖))) = ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)))) + (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
241	214, 216, 221	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) + ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))
242	212, 218, 223	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) = (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))
243	241, 242	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) = ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) + ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
244	225, 240, 243	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) = (((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) · (𝑍‘𝑖)) + ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅))) · (𝑈‘𝑖))))
245	211, 244	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
246	113, 114, 117, 120, 122, 124, 245	syl222anc 1342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
247	246	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
248		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) → (1 − 𝑡) = (1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))))
249	248	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) → ((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) = ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))
250		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) → (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) = ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))
251	249, 250	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) → (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
252	251	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) → ((((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))))
253	252	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))))
254	253	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
255	110, 247, 254	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
256	255	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) → (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))))
257	84, 256	pm2.61ine 2877	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
258		r19.26-3 3066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))
259		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))
260		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) → ((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))
261		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))) → (𝑡 · (𝑅‘𝑖)) = (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))
262	260, 261	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
263	262	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))
264	259, 263	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → ((𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))))
265	264	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))))
266		ralbi 3068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))))
267	265, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))))
268	267	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))))
269	268	biimprcd 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖)))))
270	258, 269	syl5bir 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖)))))
271	257, 270	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖)))))
272	271	an32s 846	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖)))))
273	272	expimpd 629	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖)))))
274	273	adantlr 751	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖)))))
275	12, 274	syl5bi 232	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖)))))
276	11, 275	mpd 15	. . 3 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))))
277		simpl1 1064	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝑁 ∈ ℕ)
278		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ⊆ (𝔼‘𝑁)
279	1, 278	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝔼‘𝑁)
280	279	sseli 3599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐷 → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
281	279	sseli 3599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐷 → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
282	279	sseli 3599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐷 → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
283	280, 281, 282	3anim123i 1247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)))
284	283	3com12 1269	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)))
285		brbtwn 25779	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑅⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖)))))
286	285	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑅⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖)))))
287	277, 284, 286	syl2an 494	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑅⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖)))))
288	287	adantr 481	. . 3 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑅⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖)))))
289	276, 288	mpbird 247	. 2 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → 𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑅⟩)
290	289	ex 450	1 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) → (((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑅⟩))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∨ wo 383 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 ∃wrex 2913 {crab 2916 ⟨cop 4183 class class class wbr 4653 {copab 4712 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 +∞cpnf 10071 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 / cdiv 10684 ℕcn 11020 [,)cico 12177 [,]cicc 12178 ...cfz 12326 𝔼cee 25768 Btwn cbtwn 25769

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-z 11378 df-uz 11688 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-ee 25771 df-btwn 25772

This theorem is referenced by: axcontlem10 25853

W3C validator