Theorem ccatrn 13372

Description: The range of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatrn	|- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ran ( S ++ T ) = ( ran S u. ran T ) )

Proof of Theorem ccatrn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatvalfn 13365	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) Fn ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) )
2		lencl 13324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. Word B -> ( # ` S ) e. NN0 )
3	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( # ` S ) e. NN0 )
4		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
5	3, 4	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( # ` S ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
6	3	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( # ` S ) e. ZZ )
7		uzid 11702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` S ) e. ZZ -> ( # ` S ) e. ( ZZ>= ` ( # ` S ) ) )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( # ` S ) e. ( ZZ>= ` ( # ` S ) ) )
9		lencl 13324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. Word B -> ( # ` T ) e. NN0 )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( # ` T ) e. NN0 )
11		uzaddcl 11744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` S ) e. ( ZZ>= ` ( # ` S ) ) /\ ( # ` T ) e. NN0 ) -> ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) e. ( ZZ>= ` ( # ` S ) ) )
12	8, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) e. ( ZZ>= ` ( # ` S ) ) )
13		elfzuzb 12336	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` S ) e. ( 0 ... ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) <-> ( ( # ` S ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) e. ( ZZ>= ` ( # ` S ) ) ) )
14	5, 12, 13	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( # ` S ) e. ( 0 ... ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) )
15		fzosplit 12501	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` S ) e. ( 0 ... ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) -> ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) = ( ( 0..^ ( # ` S ) ) u. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) = ( ( 0..^ ( # ` S ) ) u. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) )
17	16	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) <-> x e. ( ( 0..^ ( # ` S ) ) u. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) ) )
18		elun 3753	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ( 0..^ ( # ` S ) ) u. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) <-> ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) \/ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) )
19	17, 18	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) <-> ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) \/ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) ) )
20		ccatval1 13361	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` x ) = ( S ` x ) )
21	20	3expa 1265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` x ) = ( S ` x ) )
22		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 |- ran S C_ ( ran S u. ran T )
23		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> S e. Word B )
24		wrdf 13310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. Word B -> S : ( 0..^ ( # ` S ) ) --> B )
25		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S : ( 0..^ ( # ` S ) ) --> B -> S Fn ( 0..^ ( # ` S ) ) )
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> S Fn ( 0..^ ( # ` S ) ) )
27		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S Fn ( 0..^ ( # ` S ) ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( S ` x ) e. ran S )
28	26, 27	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( S ` x ) e. ran S )
29	22, 28	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( S ` x ) e. ( ran S u. ran T ) )
30	21, 29	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` x ) e. ( ran S u. ran T ) )
31		ccatval2 13362	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` x ) = ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) )
32	31	3expa 1265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` x ) = ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) )
33		ssun2 3777	. . . . . . . . . 10 |- ran T C_ ( ran S u. ran T )
34		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> T e. Word B )
35		wrdf 13310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. Word B -> T : ( 0..^ ( # ` T ) ) --> B )
36		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T : ( 0..^ ( # ` T ) ) --> B -> T Fn ( 0..^ ( # ` T ) ) )
37	34, 35, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> T Fn ( 0..^ ( # ` T ) ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> T Fn ( 0..^ ( # ` T ) ) )
39		elfzouz 12474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` ( # ` S ) ) )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` ( # ` S ) ) )
41		uznn0sub 11719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ZZ>= ` ( # ` S ) ) -> ( x - ( # ` S ) ) e. NN0 )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( x - ( # ` S ) ) e. NN0 )
43	42, 4	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( x - ( # ` S ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
44	10	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( # ` T ) e. ZZ )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( # ` T ) e. ZZ )
46		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) -> x < ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> x < ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) )
48		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) -> x e. ZZ )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> x e. ZZ )
50	49	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> x e. RR )
51	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( # ` S ) e. ZZ )
52	51	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( # ` S ) e. RR )
53	45	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( # ` T ) e. RR )
54	50, 52, 53	ltsubadd2d 10625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( ( x - ( # ` S ) ) < ( # ` T ) <-> x < ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) )
55	47, 54	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( x - ( # ` S ) ) < ( # ` T ) )
56		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x - ( # ` S ) ) e. ( 0..^ ( # ` T ) ) <-> ( ( x - ( # ` S ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( # ` T ) e. ZZ /\ ( x - ( # ` S ) ) < ( # ` T ) ) )
57	43, 45, 55, 56	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( x - ( # ` S ) ) e. ( 0..^ ( # ` T ) ) )
58		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T Fn ( 0..^ ( # ` T ) ) /\ ( x - ( # ` S ) ) e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) e. ran T )
59	38, 57, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) e. ran T )
60	33, 59	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) e. ( ran S u. ran T ) )
61	32, 60	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` x ) e. ( ran S u. ran T ) )
62	30, 61	jaodan 826	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) \/ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` x ) e. ( ran S u. ran T ) )
63	62	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) \/ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` x ) e. ( ran S u. ran T ) ) )
64	19, 63	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` x ) e. ( ran S u. ran T ) ) )
65	64	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> A. x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ( ( S ++ T ) ` x ) e. ( ran S u. ran T ) )
66		ffnfv 6388	. . . 4 |- ( ( S ++ T ) : ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) --> ( ran S u. ran T ) <-> ( ( S ++ T ) Fn ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) /\ A. x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ( ( S ++ T ) ` x ) e. ( ran S u. ran T ) ) )
67	1, 65, 66	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) : ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) --> ( ran S u. ran T ) )
68		frn 6053	. . 3 |- ( ( S ++ T ) : ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) --> ( ran S u. ran T ) -> ran ( S ++ T ) C_ ( ran S u. ran T ) )
69	67, 68	syl 17	. 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ran ( S ++ T ) C_ ( ran S u. ran T ) )
70	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( S ++ T ) Fn ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) )
71		fzoss2 12496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) e. ( ZZ>= ` ( # ` S ) ) -> ( 0..^ ( # ` S ) ) C_ ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) )
72	12, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( 0..^ ( # ` S ) ) C_ ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) )
73	72	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) )
74		fnfvelrn 6356	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ++ T ) Fn ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` x ) e. ran ( S ++ T ) )
75	70, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` x ) e. ran ( S ++ T ) )
76	21, 75	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( S ` x ) e. ran ( S ++ T ) )
77	76	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> A. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ( S ` x ) e. ran ( S ++ T ) )
78		ffnfv 6388	. . . . 5 |- ( S : ( 0..^ ( # ` S ) ) --> ran ( S ++ T ) <-> ( S Fn ( 0..^ ( # ` S ) ) /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ( S ` x ) e. ran ( S ++ T ) ) )
79	26, 77, 78	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> S : ( 0..^ ( # ` S ) ) --> ran ( S ++ T ) )
80		frn 6053	. . . 4 |- ( S : ( 0..^ ( # ` S ) ) --> ran ( S ++ T ) -> ran S C_ ran ( S ++ T ) )
81	79, 80	syl 17	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ran S C_ ran ( S ++ T ) )
82		ccatval3 13363	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` ( x + ( # ` S ) ) ) = ( T ` x ) )
83	82	3expa 1265	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` ( x + ( # ` S ) ) ) = ( T ` x ) )
84	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( S ++ T ) Fn ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) )
85		elfzouz 12474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) -> x e. ( ZZ>= ` 0 ) )
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` 0 ) )
87	86, 4	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> x e. NN0 )
88	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( # ` S ) e. NN0 )
89	87, 88	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( x + ( # ` S ) ) e. NN0 )
90	89, 4	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( x + ( # ` S ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
91	3, 10	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) e. NN0 )
92	91	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) e. ZZ )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) e. ZZ )
94	87	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> x e. CC )
95	88	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( # ` S ) e. CC )
96	94, 95	addcomd 10238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( x + ( # ` S ) ) = ( ( # ` S ) + x ) )
97	87	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> x e. RR )
98	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( # ` T ) e. NN0 )
99	98	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( # ` T ) e. RR )
100	88	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( # ` S ) e. RR )
101		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) -> x < ( # ` T ) )
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> x < ( # ` T ) )
103	97, 99, 100, 102	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( ( # ` S ) + x ) < ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) )
104	96, 103	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( x + ( # ` S ) ) < ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) )
105		elfzo2 12473	. . . . . . . . 9 |- ( ( x + ( # ` S ) ) e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) <-> ( ( x + ( # ` S ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) e. ZZ /\ ( x + ( # ` S ) ) < ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) )
106	90, 93, 104, 105	syl3anbrc 1246	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( x + ( # ` S ) ) e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) )
107		fnfvelrn 6356	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ++ T ) Fn ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) /\ ( x + ( # ` S ) ) e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` ( x + ( # ` S ) ) ) e. ran ( S ++ T ) )
108	84, 106, 107	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` ( x + ( # ` S ) ) ) e. ran ( S ++ T ) )
109	83, 108	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( T ` x ) e. ran ( S ++ T ) )
110	109	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> A. x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ( T ` x ) e. ran ( S ++ T ) )
111		ffnfv 6388	. . . . 5 |- ( T : ( 0..^ ( # ` T ) ) --> ran ( S ++ T ) <-> ( T Fn ( 0..^ ( # ` T ) ) /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ( T ` x ) e. ran ( S ++ T ) ) )
112	37, 110, 111	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> T : ( 0..^ ( # ` T ) ) --> ran ( S ++ T ) )
113		frn 6053	. . . 4 |- ( T : ( 0..^ ( # ` T ) ) --> ran ( S ++ T ) -> ran T C_ ran ( S ++ T ) )
114	112, 113	syl 17	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ran T C_ ran ( S ++ T ) )
115	81, 114	unssd 3789	. 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( ran S u. ran T ) C_ ran ( S ++ T ) )
116	69, 115	eqssd 3620	1 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ran ( S ++ T ) = ( ran S u. ran T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301

This theorem is referenced by:  mrsubvrs  31419