Theorem coe1z 19633

Description: The coefficient vector of 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
coe1z.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1z	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑌}))

Proof of Theorem coe1z

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6094	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (1𝑜 × {𝑎}):1𝑜⟶ℕ0)
2	1	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (1𝑜 × {𝑎}):1𝑜⟶ℕ0)
3		nn0ex 11298	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
4		1on 7567	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ On
5	4	elexi 3213	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ V
6	3, 5	elmap 7886	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 × {𝑎}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↔ (1𝑜 × {𝑎}):1𝑜⟶ℕ0)
7	2, 6	sylibr 224	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (1𝑜 × {𝑎}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
8		eqidd 2623	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})))
9		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
10		psr1baslem 19555	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
11		coe1z.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
12		coe1z.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
13		coe1z.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
14	9, 12, 13	ply1mpl0 19625	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
15	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1𝑜 ∈ On)
16		ringgrp 18552	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	9, 10, 11, 14, 15, 16	mpl0 19441	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = ((ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) × {𝑌}))
18		fconstmpt 5163	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) × {𝑌}) = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ 𝑌)
19	17, 18	syl6eq 2672	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ 𝑌))
20		eqidd 2623	. . 3 ⊢ (𝑏 = (1𝑜 × {𝑎}) → 𝑌 = 𝑌)
21	7, 8, 19, 20	fmptco 6396	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌))
22	12	ply1ring 19618	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
23		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
24	23, 13	ring0cl 18569	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑃))
25		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (coe1‘ 0 ) = (coe1‘ 0 )
26		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))
27	25, 23, 12, 26	coe1fval2 19580	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘ 0 ) = ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
28	22, 24, 27	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
29		fconstmpt 5163	. . 3 ⊢ (ℕ0 × {𝑌}) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌)
30	29	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℕ0 × {𝑌}) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌))
31	21, 28, 30	3eqtr4d 2666	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {csn 4177   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112   ∘ ccom 5118  Oncon0 5723  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1_𝑜c1o 7553   ↑_𝑚 cmap 7857  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  0_gc0g 16100  Ringcrg 18547   mPoly cmpl 19353  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553

This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  19672  decpmatid  20575  pmatcollpwscmatlem1  20594  fta1blem  23928  hbtlem2  37694