Theorem fta1blem 23928

Description: Lemma for fta1b 23929. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fta1b.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
fta1b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1b.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
fta1b.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
fta1b.w	⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
fta1b.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
fta1blem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1blem.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
fta1blem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
fta1blem.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
fta1blem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
fta1blem.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐾)
fta1blem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
fta1blem.4	⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
fta1blem.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑊)
fta1blem.6	⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))

Assertion

Ref	Expression
fta1blem	⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑊)

Proof of Theorem fta1blem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fta1blem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
2		fta1b.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
3		fta1b.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		fta1blem.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		fta1b.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		fta1blem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		fta1blem.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8	2, 7, 4, 3, 5, 6, 1	evl1vard 19701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑋)‘𝑁) = 𝑁))
9		fta1blem.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐾)
10		fta1blem.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
11		fta1blem.t	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑅)
12	2, 3, 4, 5, 6, 1, 8, 9, 10, 11	evl1vsd 19708	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁)))
13	12	simprd 479	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁))
14		fta1blem.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
15	13, 14	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)
16		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
17		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
18		fvex 6201	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
19	4, 18	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
21	2, 3, 16, 4	evl1rhm 19696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
22	6, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
23	5, 17	rhmf 18726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
25	12	simpld 475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
26	24, 25	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
27	16, 4, 17, 6, 20, 26	pwselbas 16149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)):𝐾⟶𝐾)
28	27	ffnd 6046	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾)
29		fniniseg 6338	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
31	1, 15, 30	mpbir2and 957	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
32		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
33	32	cnvex 7113	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
34	33	imaex 7104	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V)
36		1nn0 11308	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
38		crngring 18558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
39	6, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
40	7, 3, 5	vr1cl 19587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
42		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
43	42, 5	mgpbas 18495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
44		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
45	43, 44	mulg1 17548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
46	41, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
48		fta1blem.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑊)
49		fta1b.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
50	49, 4, 3, 7, 10, 42, 44	coe1tmfv1 19644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
51	39, 9, 37, 50	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
52		fta1b.z	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
53	3, 52, 49	coe1z 19633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
54	39, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
55	54	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘ 0 )‘1) = ((ℕ0 × {𝑊})‘1))
56		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
57	49, 56	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑊 ∈ V
58	57	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊)
59	36, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊
60	55, 59	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘ 0 )‘1) = 𝑊)
61	48, 51, 60	3netr4d 2871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe1‘ 0 )‘1))
62		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → (coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe1‘ 0 ))
63	62	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe1‘ 0 )‘1))
64	63	necon3i 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe1‘ 0 )‘1) → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
65	61, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
66	47, 65	eqnetrrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 )
67		eldifsn 4317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 ))
68	25, 66, 67	sylanbrc 698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
69		fta1blem.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))
70	68, 69	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
71	47	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
72		fta1b.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
73	72, 4, 3, 7, 10, 42, 44, 49	deg1tm 23878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ≠ 𝑊) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
74	39, 9, 48, 37, 73	syl121anc 1331	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
75	71, 74	eqtr3d 2658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)) = 1)
76	70, 75	breqtrd 4679	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1)
77		hashbnd 13123	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1) → (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
78	35, 37, 76, 77	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
79	4, 49	ring0cl 18569	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ 𝐾)
80	39, 79	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐾)
81		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
82	3, 81, 4, 5	ply1sclf 19655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):𝐾⟶𝐵)
83	39, 82	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑃):𝐾⟶𝐵)
84	83, 9	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵)
85		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
86		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))
87	5, 85, 86	rhmmul 18727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)))
88	22, 84, 41, 87	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)))
89	3	ply1assa 19569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
90	6, 89	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ AssAlg)
91	3	ply1sca 19623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
92	6, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
93	92	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
94	4, 93	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
95	9, 94	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
96		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
97		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
98	81, 96, 97, 5, 85, 10	asclmul1 19339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
99	90, 95, 41, 98	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
100	99	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋)) = (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)))
101	24, 84	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
102	24, 41	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
103	16, 17, 6, 20, 101, 102, 11, 86	pwsmulrval 16151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘𝑓 × (𝑂‘𝑋)))
104	2, 3, 4, 81	evl1sca 19698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
105	6, 9, 104	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
106	2, 7, 4	evl1var 19700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
107	6, 106	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
108	105, 107	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘𝑓 × (𝑂‘𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾)))
109	103, 108	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾)))
110	88, 100, 109	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾)))
111	110	fveq1d 6193	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊))
112		fnconstg 6093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐾 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
113	9, 112	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
114		fnresi 6008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾
115	114	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾)
116		fnfvof 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾 ∧ ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ 𝐾)) → (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
117	113, 115, 20, 80, 116	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
118		fvconst2g 6467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝑊 ∈ 𝐾) → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
119	9, 80, 118	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
120		fvresi 6439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐾 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
121	80, 120	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
122	119, 121	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = (𝑀 × 𝑊))
123	4, 11, 49	ringrz 18588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
124	39, 9, 123	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
125	122, 124	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = 𝑊)
126	117, 125	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = 𝑊)
127	111, 126	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)
128		fniniseg 6338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑊 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
129	28, 128	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
130	80, 127, 129	mpbir2and 957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
131	130	snssd 4340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑊} ⊆ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
132		hashsng 13159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐾 → (#‘{𝑊}) = 1)
133	80, 132	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘{𝑊}) = 1)
134		ssdomg 8001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V → ({𝑊} ⊆ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) → {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
135	34, 131, 134	mpsyl 68	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
136		snfi 8038	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑊} ∈ Fin
137		hashdom 13168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑊} ∈ Fin ∧ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V) → ((#‘{𝑊}) ≤ (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
138	136, 34, 137	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘{𝑊}) ≤ (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
139	135, 138	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘{𝑊}) ≤ (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
140	133, 139	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
141		hashcl 13147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin → (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
142	78, 141	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
143	142	nn0red 11352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ)
144		1re 10039	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
145		letri3 10123	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
146	143, 144, 145	sylancl 694	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
147	76, 140, 146	mpbir2and 957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1)
148	133, 147	eqtr4d 2659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘{𝑊}) = (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
149		hashen 13135	. . . . . 6 ⊢ (({𝑊} ∈ Fin ∧ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin) → ((#‘{𝑊}) = (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
150	136, 78, 149	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((#‘{𝑊}) = (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
151	148, 150	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
152		fisseneq 8171	. . . 4 ⊢ (((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑊} ⊆ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∧ {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) → {𝑊} = (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
153	78, 131, 151, 152	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑊} = (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
154	31, 153	eleqtrrd 2704	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑊})
155		elsni 4194	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑁 = 𝑊)
156	154, 155	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  {csn 4177   class class class wbr 4653   I cid 5023   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113   ↾ cres 5116   “ cima 5117   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895   ≈ cen 7952   ≼ cdom 7953  Fincfn 7955  ℝcr 9935  1c1 9937   ≤ cle 10075  ℕ₀cn0 11292  #chash 13117  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  0_gc0g 16100   ↑_s cpws 16107  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489  Ringcrg 18547  CRingccrg 18548   RingHom crh 18712  AssAlgcasa 19309  algSccascl 19311  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548  eval₁ce1 19679   deg₁ cdg1 23814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-evls 19506  df-evl 19507  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-evl1 19681  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816

This theorem is referenced by:  fta1b  23929