Theorem cvsmuleqdivd 22934

Description: An equality involving ratios in a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsdiveqd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cvsdiveqd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
cvsdiveqd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiveqd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cvsdiveqd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂVec)
cvsdiveqd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cvsmuleqdivd.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cvsmuleqdivd	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))

Proof of Theorem cvsmuleqdivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvsmuleqdivd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑌))
2	1	oveq2d 6666	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
3		cvsdiveqd.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂVec)
4	3	cvsclm 22926	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		cvsdiveqd.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		cvsdiveqd.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7	5, 6	clmsscn 22879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
9		cvsdiveqd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
10	8, 9	sseldd 3604	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11		cvsdiveqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
12	10, 11	recid2d 10797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
13	12	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = (1 · 𝑋))
14	5	clm1 22873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘𝐹))
15	4, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐹))
16	5	clmring 22870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Ring)
17		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
18	6, 17	ringidcl 18568	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
19	4, 16, 18	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
20	15, 19	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
21	5, 6	cvsdivcl 22933	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (1 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
22	3, 20, 9, 11, 21	syl13anc 1328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
23		cvsdiveqd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		cvsdiveqd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
25		cvsdiveqd.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
26	24, 5, 25, 6	clmvsass 22889	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
27	4, 22, 9, 23, 26	syl13anc 1328	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
28	24, 25	clmvs1 22893	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
29	4, 23, 28	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
30	13, 27, 29	3eqtr3d 2664	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
31		cvsdiveqd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
32	8, 31	sseldd 3604	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
33	32, 10, 11	divrec2d 10805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · 𝐵))
34	33	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌) = (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌))
35		cvsdiveqd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
36	24, 5, 25, 6	clmvsass 22889	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
37	4, 22, 31, 35, 36	syl13anc 1328	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
38	34, 37	eqtr2d 2657	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))
39	2, 30, 38	3eqtr3d 2664	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ⊆ wss 3574  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   / cdiv 10684  Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  1_rcur 18501  Ringcrg 18547  ℂModcclm 22862  ℂVecccvs 22923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lvec 19103  df-cnfld 19747  df-clm 22863  df-cvs 22924

This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  25765