Theorem decpmatmullem 20576

Description: Lemma for decpmatmul 20577. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmatmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
decpmatmul.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmatmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
decpmatmullem	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r‘𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝐼,𝑙,𝑡   𝐽,𝑙,𝑡   𝐾,𝑙,𝑡   𝑡,𝑁   𝑡,𝑃   𝑅,𝑙,𝑡   𝑈,𝑙,𝑡   𝑊,𝑙,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   𝐶(𝑡,𝑙)   𝑃(𝑙)   𝑁(𝑙)

Proof of Theorem decpmatmullem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	3ad2ant1 1082	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Ring)
3		decpmatmul.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		decpmatmul.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
5	3, 4	pmatring 20498	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ Ring)
7		simpl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ 𝐵)
8	7	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
9		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ 𝐵)
10	9	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
11		decpmatmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
12		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
13	11, 12	ringcl 18561	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
14	6, 8, 10, 13	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
15	14	3adant3 1081	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
16		simp33 1099	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17		3simpa 1058	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
18	17	3ad2ant3 1084	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
19	3, 4, 11	decpmate 20571	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((𝑈(.r‘𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾))
20	2, 15, 16, 18, 19	syl31anc 1329	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r‘𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾))
21	3	ply1ring 19618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
23	4, 22	matmulr 20244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐶))
24	23	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (.r‘𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
25	21, 24	sylan2 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r‘𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
26	25	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (.r‘𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
27	26	oveqd 6667	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) = (𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊))
28	27	oveqd 6667	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽) = (𝐼(𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊)𝐽))
29		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
30		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
31	21	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
32	31	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑃 ∈ Ring)
33		simpl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
34	33	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ Fin)
35	4, 29	matbas2 20227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐶))
36	35, 11	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
37	21, 36	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
38	37	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑈 ∈ 𝐵 ↔ 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
39	38	biimpcd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
41	40	impcom 446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
42	41	3adant3 1081	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
43	21, 35	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐶))
44	43, 11	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
45	44	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑊 ∈ 𝐵 ↔ 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
46	45	biimpcd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
47	46	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
48	47	impcom 446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
49	48	3adant3 1081	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
50		simp31 1097	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
51		simp32 1098	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐽 ∈ 𝑁)
52	22, 29, 30, 32, 34, 34, 34, 42, 49, 50, 51	mamufv 20193	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊)𝐽) = (𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))
53	28, 52	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽) = (𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))
54	53	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (coe1‘(𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽)) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽))))))
55	54	fveq1d 6193	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾))
56	32	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
57	50	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
58		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑡 ∈ 𝑁)
59		simpl2l 1114	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑈 ∈ 𝐵)
60	4, 29, 11, 57, 58, 59	matecld 20232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃))
61	51	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
62		simpl2r 1115	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑊 ∈ 𝐵)
63	4, 29, 11, 58, 61, 62	matecld 20232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃))
64	29, 30	ringcl 18561	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
65	56, 60, 63, 64	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
66	65	ralrimiva 2966	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ∀𝑡 ∈ 𝑁 ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
67	3, 29, 2, 16, 66, 34	coe1fzgsumd 19672	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾))))
68		simpl1r 1113	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
69		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
70	3, 30, 69, 29	coe1mul 19640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃)) → (coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙)))))))
71	68, 60, 63, 70	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → (coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙)))))))
72		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (0...𝑘) = (0...𝐾))
73		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 − 𝑙) = (𝐾 − 𝑙))
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙)) = ((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙)))
75	74	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙))) = (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))
76	72, 75	mpteq12dv 4733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙)))))
77	76	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))
78	77	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))
79	16	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
80		ovexd 6680	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))) ∈ V)
81	71, 78, 79, 80	fvmptd 6288	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))
82	81	mpteq2dva 4744	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾)) = (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙)))))))
83	82	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))))
84	67, 83	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))))
85	20, 55, 84	3eqtrd 2660	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r‘𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ⟨cotp 4185   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955  0cc0 9936   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  ...cfz 12326  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942   Σ_g cgsu 16101  Ringcrg 18547  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   maMul cmmul 20189   Mat cmat 20213   decompPMat cdecpmat 20567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-decpmat 20568

This theorem is referenced by:  decpmatmul  20577