Theorem decpmatmullem 20576

Description: Lemma for decpmatmul 20577. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmatmul.p	|- P = (Poly1 ` R )
decpmatmul.c	|- C = ( N Mat P )
decpmatmul.b	|- B = ( Base ` C )

Assertion

Ref	Expression
decpmatmullem	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> ( I ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) J ) = ( R gsumg ( t e. N |-> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... K ) |-> ( ( (coe1 ` ( I U t ) ) ` l ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( K - l ) ) ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   t, B   I, l, t   J, l, t   K, l, t   t, N   t, P   R, l, t   U, l, t   W, l, t

Allowed substitution hints:   B( l)   C( t, l)   P( l)   N( l)

Proof of Theorem decpmatmullem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> R e. Ring )
2	1	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> R e. Ring )
3		decpmatmul.p	. . . . . . 7 |- P = (Poly1 ` R )
4		decpmatmul.c	. . . . . . 7 |- C = ( N Mat P )
5	3, 4	pmatring 20498	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
6	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> C e. Ring )
7		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( U e. B /\ W e. B ) -> U e. B )
8	7	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> U e. B )
9		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( U e. B /\ W e. B ) -> W e. B )
10	9	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B )
11		decpmatmul.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` C )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .r ` C ) = ( .r ` C )
13	11, 12	ringcl 18561	. . . . 5 |- ( ( C e. Ring /\ U e. B /\ W e. B ) -> ( U ( .r ` C ) W ) e. B )
14	6, 8, 10, 13	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> ( U ( .r ` C ) W ) e. B )
15	14	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> ( U ( .r ` C ) W ) e. B )
16		simp33 1099	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> K e. NN0 )
17		3simpa 1058	. . . 4 |- ( ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) -> ( I e. N /\ J e. N ) )
18	17	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> ( I e. N /\ J e. N ) )
19	3, 4, 11	decpmate 20571	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( U ( .r ` C ) W ) e. B /\ K e. NN0 ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) J ) = ( (coe1 ` ( I ( U ( .r ` C ) W ) J ) ) ` K ) )
20	2, 15, 16, 18, 19	syl31anc 1329	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> ( I ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) J ) = ( (coe1 ` ( I ( U ( .r ` C ) W ) J ) ) ` K ) )
21	3	ply1ring 19618	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( P maMul <. N , N , N >. ) = ( P maMul <. N , N , N >. )
23	4, 22	matmulr 20244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) -> ( P maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` C ) )
24	23	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) -> ( .r ` C ) = ( P maMul <. N , N , N >. ) )
25	21, 24	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( .r ` C ) = ( P maMul <. N , N , N >. ) )
26	25	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> ( .r ` C ) = ( P maMul <. N , N , N >. ) )
27	26	oveqd 6667	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> ( U ( .r ` C ) W ) = ( U ( P maMul <. N , N , N >. ) W ) )
28	27	oveqd 6667	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> ( I ( U ( .r ` C ) W ) J ) = ( I ( U ( P maMul <. N , N , N >. ) W ) J ) )
29		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
30		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .r ` P ) = ( .r ` P )
31	21	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> P e. Ring )
32	31	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> P e. Ring )
33		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> N e. Fin )
34	33	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> N e. Fin )
35	4, 29	matbas2 20227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) -> ( ( Base ` P ) ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` C ) )
36	35, 11	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) -> B = ( ( Base ` P ) ^m ( N X. N ) ) )
37	21, 36	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> B = ( ( Base ` P ) ^m ( N X. N ) ) )
38	37	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( U e. B <-> U e. ( ( Base ` P ) ^m ( N X. N ) ) ) )
39	38	biimpcd 239	. . . . . . . . 9 |- ( U e. B -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> U e. ( ( Base ` P ) ^m ( N X. N ) ) ) )
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. B /\ W e. B ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> U e. ( ( Base ` P ) ^m ( N X. N ) ) ) )
41	40	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> U e. ( ( Base ` P ) ^m ( N X. N ) ) )
42	41	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> U e. ( ( Base ` P ) ^m ( N X. N ) ) )
43	21, 35	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( Base ` P ) ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` C ) )
44	43, 11	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> B = ( ( Base ` P ) ^m ( N X. N ) ) )
45	44	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( W e. B <-> W e. ( ( Base ` P ) ^m ( N X. N ) ) ) )
46	45	biimpcd 239	. . . . . . . . 9 |- ( W e. B -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> W e. ( ( Base ` P ) ^m ( N X. N ) ) ) )
47	46	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. B /\ W e. B ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> W e. ( ( Base ` P ) ^m ( N X. N ) ) ) )
48	47	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) ) -> W e. ( ( Base ` P ) ^m ( N X. N ) ) )
49	48	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> W e. ( ( Base ` P ) ^m ( N X. N ) ) )
50		simp31 1097	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> I e. N )
51		simp32 1098	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> J e. N )
52	22, 29, 30, 32, 34, 34, 34, 42, 49, 50, 51	mamufv 20193	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> ( I ( U ( P maMul <. N , N , N >. ) W ) J ) = ( P gsumg ( t e. N |-> ( ( I U t ) ( .r ` P ) ( t W J ) ) ) ) )
53	28, 52	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> ( I ( U ( .r ` C ) W ) J ) = ( P gsumg ( t e. N |-> ( ( I U t ) ( .r ` P ) ( t W J ) ) ) ) )
54	53	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> (coe1 ` ( I ( U ( .r ` C ) W ) J ) ) = (coe1 ` ( P gsumg ( t e. N |-> ( ( I U t ) ( .r ` P ) ( t W J ) ) ) ) ) )
55	54	fveq1d 6193	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> ( (coe1 ` ( I ( U ( .r ` C ) W ) J ) ) ` K ) = ( (coe1 ` ( P gsumg ( t e. N |-> ( ( I U t ) ( .r ` P ) ( t W J ) ) ) ) ) ` K ) )
56	32	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) /\ t e. N ) -> P e. Ring )
57	50	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) /\ t e. N ) -> I e. N )
58		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) /\ t e. N ) -> t e. N )
59		simpl2l 1114	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) /\ t e. N ) -> U e. B )
60	4, 29, 11, 57, 58, 59	matecld 20232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) /\ t e. N ) -> ( I U t ) e. ( Base ` P ) )
61	51	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) /\ t e. N ) -> J e. N )
62		simpl2r 1115	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) /\ t e. N ) -> W e. B )
63	4, 29, 11, 58, 61, 62	matecld 20232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) /\ t e. N ) -> ( t W J ) e. ( Base ` P ) )
64	29, 30	ringcl 18561	. . . . . 6 |- ( ( P e. Ring /\ ( I U t ) e. ( Base ` P ) /\ ( t W J ) e. ( Base ` P ) ) -> ( ( I U t ) ( .r ` P ) ( t W J ) ) e. ( Base ` P ) )
65	56, 60, 63, 64	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) /\ t e. N ) -> ( ( I U t ) ( .r ` P ) ( t W J ) ) e. ( Base ` P ) )
66	65	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> A. t e. N ( ( I U t ) ( .r ` P ) ( t W J ) ) e. ( Base ` P ) )
67	3, 29, 2, 16, 66, 34	coe1fzgsumd 19672	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( t e. N |-> ( ( I U t ) ( .r ` P ) ( t W J ) ) ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( t e. N |-> ( (coe1 ` ( ( I U t ) ( .r ` P ) ( t W J ) ) ) ` K ) ) ) )
68		simpl1r 1113	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) /\ t e. N ) -> R e. Ring )
69		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
70	3, 30, 69, 29	coe1mul 19640	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( I U t ) e. ( Base ` P ) /\ ( t W J ) e. ( Base ` P ) ) -> (coe1 ` ( ( I U t ) ( .r ` P ) ( t W J ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... k ) |-> ( ( (coe1 ` ( I U t ) ) ` l ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( k - l ) ) ) ) ) ) )
71	68, 60, 63, 70	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) /\ t e. N ) -> (coe1 ` ( ( I U t ) ( .r ` P ) ( t W J ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... k ) |-> ( ( (coe1 ` ( I U t ) ) ` l ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( k - l ) ) ) ) ) ) )
72		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( 0 ... k ) = ( 0 ... K ) )
73		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = K -> ( k - l ) = ( K - l ) )
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( k = K -> ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( k - l ) ) = ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( K - l ) ) )
75	74	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( ( (coe1 ` ( I U t ) ) ` l ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( k - l ) ) ) = ( ( (coe1 ` ( I U t ) ) ` l ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( K - l ) ) ) )
76	72, 75	mpteq12dv 4733	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( l e. ( 0 ... k ) |-> ( ( (coe1 ` ( I U t ) ) ` l ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( k - l ) ) ) ) = ( l e. ( 0 ... K ) |-> ( ( (coe1 ` ( I U t ) ) ` l ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( K - l ) ) ) ) )
77	76	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... k ) |-> ( ( (coe1 ` ( I U t ) ) ` l ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( k - l ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( l e. ( 0 ... K ) |-> ( ( (coe1 ` ( I U t ) ) ` l ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( K - l ) ) ) ) ) )
78	77	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) /\ t e. N ) /\ k = K ) -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... k ) |-> ( ( (coe1 ` ( I U t ) ) ` l ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( k - l ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( l e. ( 0 ... K ) |-> ( ( (coe1 ` ( I U t ) ) ` l ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( K - l ) ) ) ) ) )
79	16	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) /\ t e. N ) -> K e. NN0 )
80		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) /\ t e. N ) -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... K ) |-> ( ( (coe1 ` ( I U t ) ) ` l ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( K - l ) ) ) ) ) e. _V )
81	71, 78, 79, 80	fvmptd 6288	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) /\ t e. N ) -> ( (coe1 ` ( ( I U t ) ( .r ` P ) ( t W J ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( l e. ( 0 ... K ) |-> ( ( (coe1 ` ( I U t ) ) ` l ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( K - l ) ) ) ) ) )
82	81	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> ( t e. N |-> ( (coe1 ` ( ( I U t ) ( .r ` P ) ( t W J ) ) ) ` K ) ) = ( t e. N |-> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... K ) |-> ( ( (coe1 ` ( I U t ) ) ` l ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( K - l ) ) ) ) ) ) )
83	82	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> ( R gsumg ( t e. N |-> ( (coe1 ` ( ( I U t ) ( .r ` P ) ( t W J ) ) ) ` K ) ) ) = ( R gsumg ( t e. N |-> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... K ) |-> ( ( (coe1 ` ( I U t ) ) ` l ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( K - l ) ) ) ) ) ) ) )
84	67, 83	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( t e. N |-> ( ( I U t ) ( .r ` P ) ( t W J ) ) ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( t e. N |-> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... K ) |-> ( ( (coe1 ` ( I U t ) ) ` l ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( K - l ) ) ) ) ) ) ) )
85	20, 55, 84	3eqtrd 2660	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( U e. B /\ W e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ K e. NN0 ) ) -> ( I ( ( U ( .r ` C ) W ) decompPMat K ) J ) = ( R gsumg ( t e. N |-> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... K ) |-> ( ( (coe1 ` ( I U t ) ) ` l ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` ( t W J ) ) ` ( K - l ) ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cotp 4185   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   0cc0 9936   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   gsum_g cgsu 16101   Ringcrg 18547  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   maMul cmmul 20189   Mat cmat 20213   decompPMat cdecpmat 20567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-decpmat 20568

This theorem is referenced by:  decpmatmul  20577