Theorem evls1varsrng 19704

Description: The evaluation of the variable of univariate polynomials over subring yields the same result as evaluated as variable of the polynomials over the ring itself. (Contributed by AV, 12-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1varsrng.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1varsrng.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑆)
evls1varsrng.v	⊢ 𝑉 = (var1‘𝑈)
evls1varsrng.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1varsrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1varsrng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1varsrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
evls1varsrng	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑉) = (𝑂‘𝑉))

Proof of Theorem evls1varsrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1varsrng.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2		evls1varsrng.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (var1‘𝑈)
3		evls1varsrng.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
4		evls1varsrng.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		evls1varsrng.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
6		evls1varsrng.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	evls1var 19702	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑉) = ( I ↾ 𝐵))
8		evls1varsrng.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑆)
9	8, 4	evl1fval1 19695	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵))
11	10	fveq1d 6193	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑉) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘𝑉))
12	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (var1‘𝑈))
13		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (var1‘𝑆) = (var1‘𝑆)
14	13, 6, 3	subrgvr1 19631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) = (var1‘𝑈))
15	4	ressid 15935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s 𝐵) = 𝑆)
16	5, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐵) = 𝑆)
17	16	eqcomd 2628	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 ↾s 𝐵))
18	17	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) = (var1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
19	12, 14, 18	3eqtr2d 2662	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (var1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
20	19	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘𝑉) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑆 ↾s 𝐵))))
21		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑆 evalSub1 𝐵) = (𝑆 evalSub1 𝐵)
22		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (var1‘(𝑆 ↾s 𝐵)) = (var1‘(𝑆 ↾s 𝐵))
23		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
24		crngring 18558	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
25	4	subrgid 18782	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
26	5, 24, 25	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
27	21, 22, 23, 4, 5, 26	evls1var 19702	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑆 ↾s 𝐵))) = ( I ↾ 𝐵))
28	11, 20, 27	3eqtrrd 2661	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) = (𝑂‘𝑉))
29	7, 28	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑉) = (𝑂‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   I cid 5023   ↾ cres 5116  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  Ringcrg 18547  CRingccrg 18548  SubRingcsubrg 18776  var₁cv1 19546   evalSub₁ ces1 19678  eval₁ce1 19679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-evls 19506  df-evl 19507  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-evls1 19680  df-evl1 19681

This theorem is referenced by: (None)