Theorem fourierdlem53 40376

Description: The limit of 𝐹(𝑠) at (𝑋 + 𝐷) is the limit of 𝐹(𝑋 + 𝑠) at 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem53.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem53.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem53.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
fourierdlem53.xps	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
fourierdlem53.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.sned	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ≠ 𝐷)
fourierdlem53.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝑋 + 𝐷)))
fourierdlem53.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem53	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑠)   𝐺(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem53

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem53.xps	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
2		fourierdlem53.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3		fourierdlem53.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
4	2, 3	fssresd 6071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ)
5		fdm 6051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ → dom (𝐹 ↾ 𝐵) = 𝐵)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ 𝐵) = 𝐵)
7	6	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = dom (𝐹 ↾ 𝐵))
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐵 = dom (𝐹 ↾ 𝐵))
9	1, 8	eleqtrd 2703	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵))
10		fourierdlem53.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
11	10	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
12	11	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℂ)
13		fourierdlem53.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14	13	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
15	14	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
16		fourierdlem53.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
18		fourierdlem53.sned	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ≠ 𝐷)
19	12, 15, 17, 18	addneintrd 10243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ≠ (𝑋 + 𝐷))
20	19	neneqd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷))
21	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
22	21, 14	readdcld 10069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
23		elsng 4191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
25	20, 24	mtbird 315	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)})
26	9, 25	eldifd 3585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
27	26	ralrimiva 2966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
28		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
29	28	rnmptss 6392	. . . 4 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}) → ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
30	27, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
31		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
32		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠)
33		ax-resscn 9993	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
34	13, 33	syl6ss 3615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
35	31, 34, 11, 16	constlimc 39856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) limℂ 𝐷))
36	34, 32, 16	idlimc 39858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ 𝑠) limℂ 𝐷))
37	31, 32, 28, 12, 15, 35, 36	addlimc 39880	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐷) ∈ ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) limℂ 𝐷))
38		fourierdlem53.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝑋 + 𝐷)))
39	30, 37, 38	limccog 39852	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) limℂ 𝐷))
40		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → 𝑦 ∈ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)))
41	28	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) → (𝑦 ∈ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝑋 + 𝑠)))
42	41	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → (𝑦 ∈ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝑋 + 𝑠)))
43	40, 42	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝑋 + 𝑠))
44		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠𝜑
45		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
46	45	nfrn 5368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑠ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
47	46	nfcri 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠 𝑦 ∈ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
48	44, 47	nfan 1828	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)))
49		nfv 1843	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠 𝑦 ∈ 𝐵
50		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = (𝑋 + 𝑠)) → 𝑦 = (𝑋 + 𝑠))
51	1	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = (𝑋 + 𝑠)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
52	50, 51	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = (𝑋 + 𝑠)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
53	52	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 → (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → 𝑦 ∈ 𝐵)))
54	53	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → (𝑠 ∈ 𝐴 → (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → 𝑦 ∈ 𝐵)))
55	48, 49, 54	rexlimd 3026	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → 𝑦 ∈ 𝐵))
56	43, 55	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
57	56	ralrimiva 2966	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))𝑦 ∈ 𝐵)
58		dfss3 3592	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))𝑦 ∈ 𝐵)
59	57, 58	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵)
60		cores 5638	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
61	59, 60	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
62	22, 28	fmptd 6385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ)
63		fcompt 6400	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
64	2, 62, 63	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
65		fourierdlem53.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
66	65	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
67		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
69	68	cbvmptv 4750	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
70	69	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
71		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)))
72	67	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 = 𝑥) → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
73		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
74	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
75	13	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
76	74, 75	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ)
77	71, 72, 73, 76	fvmptd 6288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥) = (𝑋 + 𝑥))
78	77	eqcomd 2628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑋 + 𝑥) = ((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))
79	78	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥)))
80	79	mpteq2dva 4744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
81	66, 70, 80	3eqtrrd 2661	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))) = 𝐺)
82	61, 64, 81	3eqtrd 2660	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = 𝐺)
83	82	oveq1d 6665	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ (𝑠 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) limℂ 𝐷) = (𝐺 limℂ 𝐷))
84	39, 83	eleqtrd 2703	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  {csn 4177   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ran crn 5115   ↾ cres 5116   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935   + caddc 9939   lim_ℂ climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem76  40399  fourierdlem84  40407