Theorem fourierdlem53 40376

Description: The limit of F ( s ) at ( X + D ) is the limit of F ( X + s ) at D. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem53.1	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem53.2	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem53.3	|- ( ph -> A C_ RR )
fourierdlem53.g	|- G = ( s e. A |-> ( F ` ( X + s ) ) )
fourierdlem53.xps	|- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) e. B )
fourierdlem53.b	|- ( ph -> B C_ RR )
fourierdlem53.sned	|- ( ( ph /\ s e. A ) -> s =/= D )
fourierdlem53.c	|- ( ph -> C e. ( ( F |` B ) lim CC ( X + D ) ) )
fourierdlem53.d	|- ( ph -> D e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem53	|- ( ph -> C e. ( G lim CC D ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   D, s   F, s   X, s   ph, s

Allowed substitution hints:   C( s)   G( s)

Proof of Theorem fourierdlem53

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem53.xps	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) e. B )
2		fourierdlem53.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : RR --> RR )
3		fourierdlem53.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B C_ RR )
4	2, 3	fssresd 6071	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F |` B ) : B --> RR )
5		fdm 6051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F |` B ) : B --> RR -> dom ( F |` B ) = B )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( F |` B ) = B )
7	6	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = dom ( F |` B ) )
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> B = dom ( F |` B ) )
9	1, 8	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) e. dom ( F |` B ) )
10		fourierdlem53.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. RR )
11	10	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. CC )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> X e. CC )
13		fourierdlem53.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ RR )
14	13	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s e. RR )
15	14	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s e. CC )
16		fourierdlem53.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. CC )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> D e. CC )
18		fourierdlem53.sned	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s =/= D )
19	12, 15, 17, 18	addneintrd 10243	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) =/= ( X + D ) )
20	19	neneqd 2799	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> -. ( X + s ) = ( X + D ) )
21	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> X e. RR )
22	21, 14	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) e. RR )
23		elsng 4191	. . . . . . . 8 |- ( ( X + s ) e. RR -> ( ( X + s ) e. { ( X + D ) } <-> ( X + s ) = ( X + D ) ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( ( X + s ) e. { ( X + D ) } <-> ( X + s ) = ( X + D ) ) )
25	20, 24	mtbird 315	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> -. ( X + s ) e. { ( X + D ) } )
26	9, 25	eldifd 3585	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) e. ( dom ( F |` B ) \ { ( X + D ) } ) )
27	26	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. s e. A ( X + s ) e. ( dom ( F |` B ) \ { ( X + D ) } ) )
28		eqid 2622	. . . . 5 |- ( s e. A |-> ( X + s ) ) = ( s e. A |-> ( X + s ) )
29	28	rnmptss 6392	. . . 4 |- ( A. s e. A ( X + s ) e. ( dom ( F |` B ) \ { ( X + D ) } ) -> ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) C_ ( dom ( F |` B ) \ { ( X + D ) } ) )
30	27, 29	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) C_ ( dom ( F |` B ) \ { ( X + D ) } ) )
31		eqid 2622	. . . 4 |- ( s e. A |-> X ) = ( s e. A |-> X )
32		eqid 2622	. . . 4 |- ( s e. A |-> s ) = ( s e. A |-> s )
33		ax-resscn 9993	. . . . . 6 |- RR C_ CC
34	13, 33	syl6ss 3615	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ CC )
35	31, 34, 11, 16	constlimc 39856	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( ( s e. A |-> X ) lim CC D ) )
36	34, 32, 16	idlimc 39858	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( ( s e. A |-> s ) lim CC D ) )
37	31, 32, 28, 12, 15, 35, 36	addlimc 39880	. . 3 |- ( ph -> ( X + D ) e. ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) lim CC D ) )
38		fourierdlem53.c	. . 3 |- ( ph -> C e. ( ( F |` B ) lim CC ( X + D ) ) )
39	30, 37, 38	limccog 39852	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( ( F |` B ) o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) lim CC D ) )
40		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) )
41	28	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) -> ( y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) <-> E. s e. A y = ( X + s ) ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> ( y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) <-> E. s e. A y = ( X + s ) ) )
43	40, 42	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> E. s e. A y = ( X + s ) )
44		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ s ph
45		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ s ( s e. A |-> ( X + s ) )
46	45	nfrn 5368	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ s ran ( s e. A |-> ( X + s ) )
47	46	nfcri 2758	. . . . . . . . . 10 |- F/ s y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) )
48	44, 47	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ s ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) )
49		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ s y e. B
50		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. A /\ y = ( X + s ) ) -> y = ( X + s ) )
51	1	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. A /\ y = ( X + s ) ) -> ( X + s ) e. B )
52	50, 51	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. A /\ y = ( X + s ) ) -> y e. B )
53	52	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. A -> ( y = ( X + s ) -> y e. B ) ) )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> ( s e. A -> ( y = ( X + s ) -> y e. B ) ) )
55	48, 49, 54	rexlimd 3026	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> ( E. s e. A y = ( X + s ) -> y e. B ) )
56	43, 55	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> y e. B )
57	56	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) y e. B )
58		dfss3 3592	. . . . . 6 |- ( ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) C_ B <-> A. y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) y e. B )
59	57, 58	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) C_ B )
60		cores 5638	. . . . 5 |- ( ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) C_ B -> ( ( F |` B ) o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) = ( F o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) )
61	59, 60	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` B ) o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) = ( F o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) )
62	22, 28	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. A |-> ( X + s ) ) : A --> RR )
63		fcompt 6400	. . . . 5 |- ( ( F : RR --> RR /\ ( s e. A |-> ( X + s ) ) : A --> RR ) -> ( F o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) = ( x e. A |-> ( F ` ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) ) ) )
64	2, 62, 63	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( F o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) = ( x e. A |-> ( F ` ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) ) ) )
65		fourierdlem53.g	. . . . . 6 |- G = ( s e. A |-> ( F ` ( X + s ) ) )
66	65	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> G = ( s e. A |-> ( F ` ( X + s ) ) ) )
67		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( s = x -> ( X + s ) = ( X + x ) )
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( s = x -> ( F ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + x ) ) )
69	68	cbvmptv 4750	. . . . . 6 |- ( s e. A |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( x e. A |-> ( F ` ( X + x ) ) )
70	69	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. A |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( x e. A |-> ( F ` ( X + x ) ) ) )
71		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( s e. A |-> ( X + s ) ) = ( s e. A |-> ( X + s ) ) )
72	67	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ s = x ) -> ( X + s ) = ( X + x ) )
73		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
74	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X e. RR )
75	13	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. RR )
76	74, 75	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X + x ) e. RR )
77	71, 72, 73, 76	fvmptd 6288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) = ( X + x ) )
78	77	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X + x ) = ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) )
79	78	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` ( X + x ) ) = ( F ` ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) ) )
80	79	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` ( X + x ) ) ) = ( x e. A |-> ( F ` ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) ) ) )
81	66, 70, 80	3eqtrrd 2661	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) ) ) = G )
82	61, 64, 81	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( ( F |` B ) o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) = G )
83	82	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( ( F |` B ) o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) lim CC D ) = ( G lim CC D ) )
84	39, 83	eleqtrd 2703	1 |- ( ph -> C e. ( G lim CC D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem76  40399  fourierdlem84  40407