Theorem hashge2el2difr 13263

Description: A set with at least 2 different elements has size at least 2. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2difr	|- ( ( D e. V /\ E. x e. D E. y e. D x =/= y ) -> 2 <_ ( # ` D ) )

Distinct variable groups:   x, y, D   x, V, y

Proof of Theorem hashge2el2difr

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashv01gt1 13133	. . 3 |- ( D e. V -> ( ( # ` D ) = 0 \/ ( # ` D ) = 1 \/ 1 < ( # ` D ) ) )
2		hasheq0 13154	. . . . . 6 |- ( D e. V -> ( ( # ` D ) = 0 <-> D = (/) ) )
3		rexeq 3139	. . . . . . 7 |- ( D = (/) -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y <-> E. x e. (/) E. y e. D x =/= y ) )
4		rex0 3938	. . . . . . . 8 |- -. E. x e. (/) E. y e. D x =/= y
5		pm2.21 120	. . . . . . . 8 |- ( -. E. x e. (/) E. y e. D x =/= y -> ( E. x e. (/) E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
6	4, 5	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( D = (/) -> ( E. x e. (/) E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
7	3, 6	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( D = (/) -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
8	2, 7	syl6bi 243	. . . . 5 |- ( D e. V -> ( ( # ` D ) = 0 -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) ) )
9	8	com12 32	. . . 4 |- ( ( # ` D ) = 0 -> ( D e. V -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) ) )
10		hash1snb 13207	. . . . . 6 |- ( D e. V -> ( ( # ` D ) = 1 <-> E. z D = { z } ) )
11		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( D = { z } -> D = { z } )
12		rexeq 3139	. . . . . . . . . 10 |- ( D = { z } -> ( E. y e. D x =/= y <-> E. y e. { z } x =/= y ) )
13	11, 12	rexeqbidv 3153	. . . . . . . . 9 |- ( D = { z } -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y <-> E. x e. { z } E. y e. { z } x =/= y ) )
14		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
15		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( x =/= y <-> z =/= y ) )
16	15	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( E. y e. { z } x =/= y <-> E. y e. { z } z =/= y ) )
17	14, 16	rexsn 4223	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. { z } E. y e. { z } x =/= y <-> E. y e. { z } z =/= y )
18		neeq2 2857	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( z =/= y <-> z =/= z ) )
19	14, 18	rexsn 4223	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. { z } z =/= y <-> z =/= z )
20	17, 19	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. { z } E. y e. { z } x =/= y <-> z =/= z )
21	13, 20	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( D = { z } -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y <-> z =/= z ) )
22		equid 1939	. . . . . . . . 9 |- z = z
23		eqneqall 2805	. . . . . . . . 9 |- ( z = z -> ( z =/= z -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
24	22, 23	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( D = { z } -> ( z =/= z -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
25	21, 24	sylbid 230	. . . . . . 7 |- ( D = { z } -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
26	25	exlimiv 1858	. . . . . 6 |- ( E. z D = { z } -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
27	10, 26	syl6bi 243	. . . . 5 |- ( D e. V -> ( ( # ` D ) = 1 -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) ) )
28	27	com12 32	. . . 4 |- ( ( # ` D ) = 1 -> ( D e. V -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) ) )
29		hashnn0pnf 13130	. . . . . . . 8 |- ( D e. V -> ( ( # ` D ) e. NN0 \/ ( # ` D ) = +oo ) )
30		1z 11407	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
31		nn0z 11400	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` D ) e. NN0 -> ( # ` D ) e. ZZ )
32		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( # ` D ) e. ZZ ) -> ( 1 < ( # ` D ) <-> ( 1 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
33	32	biimpd 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( # ` D ) e. ZZ ) -> ( 1 < ( # ` D ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
34	30, 31, 33	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` D ) e. NN0 -> ( 1 < ( # ` D ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
35		df-2 11079	. . . . . . . . . . 11 |- 2 = ( 1 + 1 )
36	35	breq1i 4660	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 <_ ( # ` D ) <-> ( 1 + 1 ) <_ ( # ` D ) )
37	34, 36	syl6ibr 242	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` D ) e. NN0 -> ( 1 < ( # ` D ) -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
38		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
39	38	rexri 10097	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR*
40		pnfge 11964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. RR* -> 2 <_ +oo )
41	39, 40	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` D ) = +oo -> 2 <_ +oo )
42		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` D ) = +oo -> ( 2 <_ ( # ` D ) <-> 2 <_ +oo ) )
43	41, 42	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` D ) = +oo -> 2 <_ ( # ` D ) )
44	43	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` D ) = +oo -> ( 1 < ( # ` D ) -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
45	37, 44	jaoi 394	. . . . . . . 8 |- ( ( ( # ` D ) e. NN0 \/ ( # ` D ) = +oo ) -> ( 1 < ( # ` D ) -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
46	29, 45	syl 17	. . . . . . 7 |- ( D e. V -> ( 1 < ( # ` D ) -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
47	46	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( 1 < ( # ` D ) /\ D e. V ) -> 2 <_ ( # ` D ) )
48	47	a1d 25	. . . . 5 |- ( ( 1 < ( # ` D ) /\ D e. V ) -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
49	48	ex 450	. . . 4 |- ( 1 < ( # ` D ) -> ( D e. V -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) ) )
50	9, 28, 49	3jaoi 1391	. . 3 |- ( ( ( # ` D ) = 0 \/ ( # ` D ) = 1 \/ 1 < ( # ` D ) ) -> ( D e. V -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) ) )
51	1, 50	mpcom 38	. 2 |- ( D e. V -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
52	51	imp 445	1 |- ( ( D e. V /\ E. x e. D E. y e. D x =/= y ) -> 2 <_ ( # ` D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  13264  hashdmpropge2  13265  structgrssvtxlemOLD  25915