Theorem islininds2 42273

Description: Implication of being a linearly independent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindeps2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
islindeps2.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
islindeps2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
islindeps2.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
islindeps2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islininds2	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑆 linIndS 𝑀 → ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem islininds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lindepsnlininds 42241	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ¬ 𝑆 linIndS 𝑀))
2	1	ancoms 469	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ¬ 𝑆 linIndS 𝑀))
3	2	3adant3 1081	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ¬ 𝑆 linIndS 𝑀))
4	3	con2bid 344	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ ¬ 𝑆 linDepS 𝑀))
5		notnotb 304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 finSupp 0 ↔ ¬ ¬ 𝑓 finSupp 0 )
6		nne 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠 ↔ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
7	6	bicomi 214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 ↔ ¬ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠)
8	5, 7	anbi12i 733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ (¬ ¬ 𝑓 finSupp 0 ∧ ¬ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠))
9		pm4.56 516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ¬ 𝑓 finSupp 0 ∧ ¬ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠) ↔ ¬ (¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠))
10	8, 9	bitri 264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ ¬ (¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠))
11	10	rexbii 3041	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠})) ¬ (¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠))
12		rexnal 2995	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠})) ¬ (¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠))
13	11, 12	bitri 264	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠))
14	13	rexbii 3041	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ¬ ∀𝑓 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠))
15		rexnal 2995	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑆 ¬ ∀𝑓 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠) ↔ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠))
16	14, 15	bitri 264	. . . 4 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠))
17		islindeps2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
18		islindeps2.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
19		islindeps2.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
20		islindeps2.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
21		islindeps2.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22	17, 18, 19, 20, 21	islindeps2 42272	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
23	16, 22	syl5bir 233	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (¬ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
24	23	con1d 139	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (¬ 𝑆 linDepS 𝑀 → ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠)))
25	4, 24	sylbid 230	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑆 linIndS 𝑀 → ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) ≠ 𝑠)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ∖ cdif 3571  𝒫 cpw 4158  {csn 4177   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857   finSupp cfsupp 8275  Basecbs 15857  Scalarcsca 15944  0_gc0g 16100  LModclmod 18863  NzRingcnzr 19257   linC clinc 42193   linIndS clininds 42229   linDepS clindeps 42230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-lmod 18865  df-nzr 19258  df-linc 42195  df-lininds 42231  df-lindeps 42233

This theorem is referenced by: (None)