Theorem iswwlksnx 26731

Description: Properties of a word to represent a walk of a fixed length, definition of WWalks expanded. (Contributed by AV, 28-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iswwlksnx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iswwlksnx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
iswwlksnx	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem iswwlksnx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswwlksn 26730	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))))
2		iswwlksnx.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		iswwlksnx.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	iswwlks 26728	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5		df-3an 1039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ↔ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
6		nn0p1gt0 11322	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
7	6	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≠ 0)
9		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑊) ≠ 0 ↔ (𝑁 + 1) ≠ 0))
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((#‘𝑊) ≠ 0 ↔ (𝑁 + 1) ≠ 0))
11	8, 10	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (#‘𝑊) ≠ 0)
12		hasheq0 13154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
13	12	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) ≠ 0 ↔ 𝑊 ≠ ∅))
14	11, 13	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ≠ ∅))
15	14	pm4.71rd 667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉)))
16	15	bicomd 213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
17	16	anbi1d 741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
18	5, 17	syl5bb 272	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
19	4, 18	syl5bb 272	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
20	19	ex 450	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))))
21	20	pm5.32rd 672	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))))
22		df-3an 1039	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
23	21, 22	syl6bbr 278	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))))
24	1, 23	bitrd 268	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∅c0 3915  {cpr 4179  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939  WWalkscwwlks 26717   WWalksN cwwlksn 26718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-wwlks 26722  df-wwlksn 26723

This theorem is referenced by:  wwlksubclwwlks  26925  clwwlksnwwlksn  27209