Theorem itg2mulc 23514

Description: The integral of a nonnegative constant times a function is the constant times the integral of the original function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mulc.3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2mulc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
itg2mulc	⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Proof of Theorem itg2mulc

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mulc.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3		itg2mulc.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
5		itg2mulc.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
6		elrege0 12278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
7	5, 6	sylib 208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
8	7	simpld 475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	anim1i 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10		elrp 11834	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
11	9, 10	sylibr 224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
12	2, 4, 11	itg2mulclem 23513	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
13		ge0mulcl 12285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
14	13	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
15		fconst6g 6094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
16	5, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
17		reex 10027	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
19		inidm 3822	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
20	14, 16, 1, 18, 18, 19	off 6912	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
21	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
22		icossicc 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
23		fss 6056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
24	20, 22, 23	sylancl 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
26	8, 3	remulcld 10070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ)
27	26	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ)
28		itg2lecl 23505	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ∈ ℝ)
29	25, 27, 12, 28	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ∈ ℝ)
30	11	rpreccld 11882	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
31	21, 29, 30	itg2mulclem 23513	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))) ≤ ((1 / 𝐴) · (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))))
32	2	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
33		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
34		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
35	33, 34	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
36		fss 6056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
37	1, 35, 36	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
39	38	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
40	39	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘𝑦))
41	40	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
42	32, 41	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹‘𝑦))))
43	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ℝ ∈ V)
44		1red 10055	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
45	43, 30, 11	ofc12 6922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · (ℝ × {𝐴})) = (ℝ × {((1 / 𝐴) · 𝐴)}))
46		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ × {((1 / 𝐴) · 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴))
47	45, 46	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · (ℝ × {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴)))
48	8	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
50	11	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
51	49, 50	recid2d 10797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
52	51	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
53	47, 52	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · (ℝ × {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
54	43, 44, 39, 53, 32	offval2 6914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · (ℝ × {𝐴})) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹‘𝑦))))
55	30	rpcnd 11874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
56		fconst6g 6094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → (ℝ × {(1 / 𝐴)}):ℝ⟶ℂ)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (ℝ × {(1 / 𝐴)}):ℝ⟶ℂ)
58		fconst6g 6094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℂ)
59	49, 58	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℂ)
60		mulass 10024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
61	60	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
62	43, 57, 59, 38, 61	caofass 6931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · (ℝ × {𝐴})) ∘𝑓 · 𝐹) = ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))
63	42, 54, 62	3eqtr2d 2662	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))
64	63	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘𝐹) = (∫2‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))))
65	29	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ∈ ℂ)
66	65, 49, 50	divrec2d 10805	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))))
67	31, 64, 66	3brtr4d 4685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) / 𝐴))
68	4, 29, 11	lemuldiv2d 11922	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ↔ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) / 𝐴)))
69	67, 68	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))
70		itg2cl 23499	. . . . . 6 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ∈ ℝ*)
71	24, 70	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ∈ ℝ*)
72	26	rexrd 10089	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*)
73		xrletri3 11985	. . . . 5 ⊢ (((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))))
74	71, 72, 73	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))))
75	74	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))))
76	12, 69, 75	mpbir2and 957	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
77	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ℝ ∈ V)
78	37	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
79	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
80		0re 10040	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
82		simplr 792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 = 𝐴)
83	82	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
84		mul02 10214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
85	84	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
86	83, 85	eqtr3d 2658	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
87	77, 78, 79, 81, 86	caofid2 6928	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) = (ℝ × {0}))
88	87	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (∫2‘(ℝ × {0})))
89		itg20 23504	. . . 4 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
90	88, 89	syl6eq 2672	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = 0)
91	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
92	91	recnd 10068	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘𝐹) ∈ ℂ)
93	92	mul02d 10234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · (∫2‘𝐹)) = 0)
94		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
95	94	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · (∫2‘𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
96	90, 93, 95	3eqtr2d 2662	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
97	7	simprd 479	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
98		leloe 10124	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
99	80, 8, 98	sylancr 695	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
100	97, 99	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
101	76, 96, 100	mpjaodan 827	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   / cdiv 10684  ℝ⁺crp 11832  [,)cico 12177  [,]cicc 12178  ∫₂citg2 23385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  iblmulc2  23597  itgmulc2lem1  23598  bddmulibl  23605  iblmulc2nc  33475  itgmulc2nclem1  33476