Theorem konigsberglem4 27117

Description: Lemma 4 for konigsberg 27119: Vertices 0, 1, 3 are vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem4	⊢ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem konigsberglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 11310	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		0elfz 12436	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0...3)
4		konigsberg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...3)
5	3, 4	eleqtrri 2700	. . . 4 ⊢ 0 ∈ 𝑉
6		n2dvds3 15107	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
7		konigsberg.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
8		konigsberg.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
9	4, 7, 8	konigsberglem1 27114	. . . . . 6 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘0) = 3
10	9	breq2i 4661	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0) ↔ 2 ∥ 3)
11	6, 10	mtbir 313	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)
12		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘0))
13	12	breq2d 4665	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
14	13	notbid 308	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
15	14	elrab 3363	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (0 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
16	5, 11, 15	mpbir2an 955	. . 3 ⊢ 0 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
17		1nn0 11308	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		1le3 11244	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 3
19		elfz2nn0 12431	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
20	17, 1, 18, 19	mpbir3an 1244	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0...3)
21	20, 4	eleqtrri 2700	. . . 4 ⊢ 1 ∈ 𝑉
22	4, 7, 8	konigsberglem2 27115	. . . . . 6 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘1) = 3
23	22	breq2i 4661	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1) ↔ 2 ∥ 3)
24	6, 23	mtbir 313	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)
25		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘1))
26	25	breq2d 4665	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
27	26	notbid 308	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
28	27	elrab 3363	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (1 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
29	21, 24, 28	mpbir2an 955	. . 3 ⊢ 1 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
30		3re 11094	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
31	30	leidi 10562	. . . . . 6 ⊢ 3 ≤ 3
32		elfz2nn0 12431	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ (0...3) ↔ (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ≤ 3))
33	1, 1, 31, 32	mpbir3an 1244	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ (0...3)
34	33, 4	eleqtrri 2700	. . . 4 ⊢ 3 ∈ 𝑉
35	4, 7, 8	konigsberglem3 27116	. . . . . 6 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘3) = 3
36	35	breq2i 4661	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3) ↔ 2 ∥ 3)
37	6, 36	mtbir 313	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)
38		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘3))
39	38	breq2d 4665	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 3 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
40	39	notbid 308	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 3 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
41	40	elrab 3363	. . . 4 ⊢ (3 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (3 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
42	34, 37, 41	mpbir2an 955	. . 3 ⊢ 3 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
43	16, 29, 42	3pm3.2i 1239	. 2 ⊢ (0 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 1 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 3 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
44		c0ex 10034	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
45		1ex 10035	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
46		3ex 11096	. . 3 ⊢ 3 ∈ V
47	44, 45, 46	tpss 4368	. 2 ⊢ ((0 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 1 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 3 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
48	43, 47	mpbi 220	1 ⊢ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916   ⊆ wss 3574  {cpr 4179  {ctp 4181  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   ≤ cle 10075  2c2 11070  3c3 11071  ℕ₀cn0 11292  ...cfz 12326  ⟨“cs7 13591   ∥ cdvds 14983  VtxDegcvtxdg 26361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-s4 13595  df-s5 13596  df-s6 13597  df-s7 13598  df-dvds 14984  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-vtxdg 26362

This theorem is referenced by:  konigsberglem5  27118