Theorem konigsberglem4 27117

Description: Lemma 4 for konigsberg 27119: Vertices 0 , 1 , 3 are vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem4	|- { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }

Distinct variable groups:   x, V   x, G

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem konigsberglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 11310	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
2		0elfz 12436	. . . . . 6 |- ( 3 e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 ... 3 )
4		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
5	3, 4	eleqtrri 2700	. . . 4 |- 0 e. V
6		n2dvds3 15107	. . . . 5 |- -. 2 || 3
7		konigsberg.e	. . . . . . 7 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
8		konigsberg.g	. . . . . . 7 |- G = <. V , E >.
9	4, 7, 8	konigsberglem1 27114	. . . . . 6 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) = 3
10	9	breq2i 4661	. . . . 5 |- ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) <-> 2 || 3 )
11	6, 10	mtbir 313	. . . 4 |- -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 )
12		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) = ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) )
13	12	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) ) )
14	13	notbid 308	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) ) )
15	14	elrab 3363	. . . 4 |- ( 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } <-> ( 0 e. V /\ -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) ) )
16	5, 11, 15	mpbir2an 955	. . 3 |- 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
17		1nn0 11308	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
18		1le3 11244	. . . . . 6 |- 1 <_ 3
19		elfz2nn0 12431	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
20	17, 1, 18, 19	mpbir3an 1244	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
21	20, 4	eleqtrri 2700	. . . 4 |- 1 e. V
22	4, 7, 8	konigsberglem2 27115	. . . . . 6 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) = 3
23	22	breq2i 4661	. . . . 5 |- ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) <-> 2 || 3 )
24	6, 23	mtbir 313	. . . 4 |- -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 )
25		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) = ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) )
26	25	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) ) )
27	26	notbid 308	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) ) )
28	27	elrab 3363	. . . 4 |- ( 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } <-> ( 1 e. V /\ -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) ) )
29	21, 24, 28	mpbir2an 955	. . 3 |- 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
30		3re 11094	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
31	30	leidi 10562	. . . . . 6 |- 3 <_ 3
32		elfz2nn0 12431	. . . . . 6 |- ( 3 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 3 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 3 <_ 3 ) )
33	1, 1, 31, 32	mpbir3an 1244	. . . . 5 |- 3 e. ( 0 ... 3 )
34	33, 4	eleqtrri 2700	. . . 4 |- 3 e. V
35	4, 7, 8	konigsberglem3 27116	. . . . . 6 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) = 3
36	35	breq2i 4661	. . . . 5 |- ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) <-> 2 || 3 )
37	6, 36	mtbir 313	. . . 4 |- -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 )
38		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = 3 -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) = ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) )
39	38	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( x = 3 -> ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) ) )
40	39	notbid 308	. . . . 5 |- ( x = 3 -> ( -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) ) )
41	40	elrab 3363	. . . 4 |- ( 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } <-> ( 3 e. V /\ -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) ) )
42	34, 37, 41	mpbir2an 955	. . 3 |- 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
43	16, 29, 42	3pm3.2i 1239	. 2 |- ( 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )
44		c0ex 10034	. . 3 |- 0 e. _V
45		1ex 10035	. . 3 |- 1 e. _V
46		3ex 11096	. . 3 |- 3 e. _V
47	44, 45, 46	tpss 4368	. 2 |- ( ( 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )
48	43, 47	mpbi 220	1 |- { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }

Syntax hints:   -. wn 3   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   {cpr 4179   {ctp 4181   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   <_ cle 10075   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   <"cs7 13591   || cdvds 14983  VtxDegcvtxdg 26361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-s4 13595  df-s5 13596  df-s6 13597  df-s7 13598  df-dvds 14984  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-vtxdg 26362

This theorem is referenced by:  konigsberglem5  27118