Theorem leordtval2 21016

Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
leordtval.1	⊢ 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
leordtval.2	⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))

Assertion

Ref	Expression
leordtval2	⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))

Proof of Theorem leordtval2

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letsr 17227	. . 3 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
2		ledm 17224	. . . 4 ⊢ ℝ* = dom ≤
3		leordtval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
4	3	leordtvallem1 21014	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥})
5		leordtval.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
6	3, 5	leordtvallem2 21015	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})
7	2, 4, 6	ordtval 20993	. . 3 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴 ∪ 𝐵)))))
8	1, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴 ∪ 𝐵))))
9		snex 4908	. . . . 5 ⊢ {ℝ*} ∈ V
10		xrex 11829	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
11	10	pwex 4848	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ℝ* ∈ V
12		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
13		iocssxr 12257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥(,]+∞) ⊆ ℝ*
14	10	elpw2 4828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ* ↔ (𝑥(,]+∞) ⊆ ℝ*)
15	13, 14	mpbir 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*)
17	12, 16	fmpti 6383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)):ℝ*⟶𝒫 ℝ*
18		frn 6053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)):ℝ*⟶𝒫 ℝ* → ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ⊆ 𝒫 ℝ*)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ⊆ 𝒫 ℝ*
20	3, 19	eqsstri 3635	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝒫 ℝ*
21		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
22		icossxr 12258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-∞[,)𝑥) ⊆ ℝ*
23	10	elpw2 4828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ* ↔ (-∞[,)𝑥) ⊆ ℝ*)
24	22, 23	mpbir 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ*
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ*)
26	21, 25	fmpti 6383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)):ℝ*⟶𝒫 ℝ*
27		frn 6053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)):ℝ*⟶𝒫 ℝ* → ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ 𝒫 ℝ*)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ 𝒫 ℝ*
29	5, 28	eqsstri 3635	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℝ*
30	20, 29	unssi 3788	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝒫 ℝ*
31	11, 30	ssexi 4803	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V
32	9, 31	unex 6956	. . . 4 ⊢ ({ℝ*} ∪ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∈ V
33		ssun2 3777	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ({ℝ*} ∪ (𝐴 ∪ 𝐵))
34		fiss 8330	. . . 4 ⊢ ((({ℝ*} ∪ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∈ V ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ({ℝ*} ∪ (𝐴 ∪ 𝐵))) → (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴 ∪ 𝐵))))
35	32, 33, 34	mp2an 708	. . 3 ⊢ (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴 ∪ 𝐵)))
36		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))) ∈ V
37		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,]+∞) ∈ V
38		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞[,)1) ∈ V
39	37, 38	unipr 4449	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
40		iocssxr 12257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0(,]+∞) ⊆ ℝ*
41		icossxr 12258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞[,)1) ⊆ ℝ*
42	40, 41	unssi 3788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1)) ⊆ ℝ*
43		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
44		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ*
45		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
46		mnflt0 11959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -∞ < 0
47		0lepnf 11966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ +∞
48		df-icc 12182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
49		df-ioc 12180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
50		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ 0))
51		xrletr 11989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 0 ∧ 0 ≤ +∞) → 𝑤 ≤ +∞))
52		xrlttr 11973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
53		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 → -∞ ≤ 𝑤))
54	53	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 → -∞ ≤ 𝑤))
55	52, 54	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑤) → -∞ ≤ 𝑤))
56	48, 49, 50, 48, 51, 55	ixxun 12191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 0 ∧ 0 ≤ +∞)) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
57	46, 47, 56	mpanr12 721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
58	43, 44, 45, 57	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞)
59		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
60	59	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ*
61		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
62		df-ico 12181	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
63		xrlelttr 11987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 0 ∧ 0 < 1) → 𝑤 < 1))
64	62, 48, 63	ixxss2 12194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1))
65	60, 61, 64	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1)
66		unss1 3782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞)))
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞))
68	58, 67	eqsstr3i 3636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞[,]+∞) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞))
69		iccmax 12249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞[,]+∞) = ℝ*
70		uncom 3757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞)) = ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
71	68, 69, 70	3sstr3i 3643	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ* ⊆ ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
72	42, 71	eqssi 3619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1)) = ℝ*
73	39, 72	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ℝ*
74		fvex 6201	. . . . . . . . 9 ⊢ (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ∈ V
75		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
76		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,]+∞) = (0(,]+∞)
77		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(,]+∞) = (0(,]+∞))
78	77	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → ((0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞) ↔ (0(,]+∞) = (0(,]+∞)))
79	78	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (0(,]+∞) = (0(,]+∞)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
80	44, 76, 79	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞)
81		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥(,]+∞) ∈ V
82	12, 81	elrnmpti 5376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
83	80, 82	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
84	83, 3	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,]+∞) ∈ 𝐴
85	75, 84	sselii 3600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0(,]+∞) ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)
86		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
87		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-∞[,)1) = (-∞[,)1)
88		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 1 → (-∞[,)𝑥) = (-∞[,)1))
89	88	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 1 → ((-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞[,)1) = (-∞[,)1)))
90	89	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (-∞[,)1) = (-∞[,)1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥))
91	60, 87, 90	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥)
92		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-∞[,)𝑥) ∈ V
93	21, 92	elrnmpti 5376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-∞[,)1) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥))
94	91, 93	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-∞[,)1) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
95	94, 5	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-∞[,)1) ∈ 𝐵
96	86, 95	sselii 3600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞[,)1) ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)
97		prssi 4353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0(,]+∞) ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ (-∞[,)1) ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵))
98	85, 96, 97	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
99		ssfii 8325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
100	31, 99	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))
101	98, 100	sstri 3612	. . . . . . . . 9 ⊢ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))
102		eltg3i 20765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ∈ V ∧ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))) → ∪ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
103	74, 101, 102	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
104	73, 103	eqeltrri 2698	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
105		snssi 4339	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ* ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))) → {ℝ*} ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
106	104, 105	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {ℝ*} ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
107		bastg 20770	. . . . . . . 8 ⊢ ((fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ∈ V → (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
108	74, 107	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
109	100, 108	sstri 3612	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
110	106, 109	unssi 3788	. . . . 5 ⊢ ({ℝ*} ∪ (𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
111		fiss 8330	. . . . 5 ⊢ (((topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))) ∈ V ∧ ({ℝ*} ∪ (𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))) → (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴 ∪ 𝐵))) ⊆ (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))))
112	36, 110, 111	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴 ∪ 𝐵))) ⊆ (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
113		fibas 20781	. . . . 5 ⊢ (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ∈ TopBases
114		tgcl 20773	. . . . 5 ⊢ ((fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ∈ TopBases → (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))) ∈ Top)
115		fitop 20705	. . . . 5 ⊢ ((topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))) ∈ Top → (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))) = (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
116	113, 114, 115	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))) = (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
117	112, 116	sseqtri 3637	. . 3 ⊢ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴 ∪ 𝐵))) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
118		2basgen 20794	. . 3 ⊢ (((fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴 ∪ 𝐵))) ∧ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴 ∪ 𝐵))) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))) → (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴 ∪ 𝐵)))))
119	35, 117, 118	mp2an 708	. 2 ⊢ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴 ∪ 𝐵))))
120	8, 119	eqtr4i 2647	1 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  {cpr 4179  ∪ cuni 4436   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ran crn 5115  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ficfi 8316  0cc0 9936  1c1 9937  +∞cpnf 10071  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  (,]cioc 12176  [,)cico 12177  [,]cicc 12178  topGenctg 16098  ordTopcordt 16159   TosetRel ctsr 17199  Topctop 20698  TopBasesctb 20749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-top 20699  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  leordtval  21017  lecldbas  21023