Proof of Theorem lgsquad2lem1
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | lgsquad2lem1.m |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 𝑀) |
2 | | lgsquad2lem1.a |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ) |
3 | 2 | nnzd 11481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ) |
4 | 3 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
5 | | ax-1cn 9994 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
ℂ |
6 | | npcan 10290 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → ((𝐴 −
1) + 1) = 𝐴) |
7 | 4, 5, 6 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴) |
8 | | lgsquad2lem1.b |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ) |
9 | 8 | nnzd 11481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ) |
10 | 9 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
11 | | npcan 10290 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → ((𝐵 −
1) + 1) = 𝐵) |
12 | 10, 5, 11 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵) |
13 | 7, 12 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = (𝐴 · 𝐵)) |
14 | | peano2zm 11420 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈
ℤ) |
15 | 3, 14 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℤ) |
16 | 15 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ) |
17 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
18 | | peano2zm 11420 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈
ℤ) |
19 | 9, 18 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℤ) |
20 | 19 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℂ) |
21 | 16, 17, 20, 17 | muladdd 10489 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) +
(((𝐴 − 1) · 1)
+ ((𝐵 − 1) ·
1)))) |
22 | | 1t1e1 11175 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (1
· 1) = 1 |
23 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (1 · 1) =
1) |
24 | 23 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) +
1)) |
25 | 16 | mulid1d 10057 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) · 1) = (𝐴 − 1)) |
26 | 20 | mulid1d 10057 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) · 1) = (𝐵 − 1)) |
27 | 25, 26 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1)) =
((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) |
28 | 24, 27 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) + (((𝐴 − 1) · 1) +
((𝐵 − 1) ·
1))) = ((((𝐴 − 1)
· (𝐵 − 1)) +
1) + ((𝐴 − 1) +
(𝐵 −
1)))) |
29 | 21, 28 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)))) |
30 | 13, 29 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)))) |
31 | 1, 30 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)))) |
32 | 31 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) = (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) − 1)) |
33 | 16, 20 | mulcld 10060 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈
ℂ) |
34 | | addcl 10018 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ
∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) ∈
ℂ) |
35 | 33, 5, 34 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) ∈
ℂ) |
36 | 16, 20 | addcld 10059 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) ∈
ℂ) |
37 | 35, 36, 17 | addsubd 10413 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) − 1) = (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) +
((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)))) |
38 | | pncan 10287 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ
∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) = ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))) |
39 | 33, 5, 38 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) = ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))) |
40 | 39 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)))) |
41 | 32, 37, 40 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)))) |
42 | 41 | oveq1d 6665 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) / 2) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) / 2)) |
43 | | 2cnd 11093 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
44 | | 2ne0 11113 |
. . . . . . . . 9
⊢ 2 ≠
0 |
45 | 44 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0) |
46 | 33, 36, 43, 45 | divdird 10839 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) / 2) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) + (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2))) |
47 | 16, 20, 43, 45 | divassd 10836 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) = ((𝐴 − 1) · ((𝐵 − 1) / 2))) |
48 | 16, 43, 45 | divcan2d 10803 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐴 − 1) / 2)) = (𝐴 − 1)) |
49 | 48 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝐴 − 1) / 2)) ·
((𝐵 − 1) / 2)) =
((𝐴 − 1) ·
((𝐵 − 1) /
2))) |
50 | | lgsquad2.2 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀) |
51 | | dvdsmul1 15003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵)) |
52 | 3, 9, 51 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵)) |
53 | 52, 1 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝑀) |
54 | | 2z 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 2 ∈
ℤ |
55 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℤ) |
56 | | lgsquad2.1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ) |
57 | 56 | nnzd 11481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) |
58 | | dvdstr 15018 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 𝐴
∈ ℤ ∧ 𝑀
∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀)) |
59 | 55, 3, 57, 58 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀)) |
60 | 53, 59 | mpan2d 710 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 → 2 ∥ 𝑀)) |
61 | 50, 60 | mtod 189 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴) |
62 | | 1zzd 11408 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℤ) |
63 | | 2prm 15405 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 2 ∈
ℙ |
64 | | nprmdvds1 15418 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (2 ∈
ℙ → ¬ 2 ∥ 1) |
65 | 63, 64 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥
1) |
66 | | omoe 15088 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2
∥ 𝐴) ∧ (1 ∈
ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐴 − 1)) |
67 | 3, 61, 62, 65, 66 | syl22anc 1327 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐴 − 1)) |
68 | | dvdsval2 14986 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ) → (2
∥ (𝐴 − 1)
↔ ((𝐴 − 1) / 2)
∈ ℤ)) |
69 | 55, 45, 15, 68 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐴 − 1) ↔ ((𝐴 − 1) / 2) ∈
ℤ)) |
70 | 67, 69 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 2) ∈
ℤ) |
71 | 70 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 2) ∈
ℂ) |
72 | | dvdsmul2 15004 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐵)) |
73 | 3, 9, 72 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐵)) |
74 | 73, 1 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝑀) |
75 | | dvdstr 15018 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 𝐵
∈ ℤ ∧ 𝑀
∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀)) |
76 | 55, 9, 57, 75 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((2 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀)) |
77 | 74, 76 | mpan2d 710 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ 𝑀)) |
78 | 50, 77 | mtod 189 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵) |
79 | | omoe 15088 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2
∥ 𝐵) ∧ (1 ∈
ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐵 − 1)) |
80 | 9, 78, 62, 65, 79 | syl22anc 1327 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐵 − 1)) |
81 | | dvdsval2 14986 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ) → (2
∥ (𝐵 − 1)
↔ ((𝐵 − 1) / 2)
∈ ℤ)) |
82 | 55, 45, 19, 81 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐵 − 1) ↔ ((𝐵 − 1) / 2) ∈
ℤ)) |
83 | 80, 82 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) / 2) ∈
ℤ) |
84 | 83 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) / 2) ∈
ℂ) |
85 | 43, 71, 84 | mulassd 10063 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝐴 − 1) / 2)) ·
((𝐵 − 1) / 2)) = (2
· (((𝐴 − 1) /
2) · ((𝐵 − 1)
/ 2)))) |
86 | 47, 49, 85 | 3eqtr2d 2662 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) = (2 · (((𝐴 − 1) / 2) ·
((𝐵 − 1) /
2)))) |
87 | 16, 20, 43, 45 | divdird 10839 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2) = (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))) |
88 | 86, 87 | oveq12d 6668 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) + (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2)) = ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) ·
((𝐵 − 1) / 2))) +
(((𝐴 − 1) / 2) +
((𝐵 − 1) /
2)))) |
89 | 42, 46, 88 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) ·
((𝐵 − 1) / 2))) +
(((𝐴 − 1) / 2) +
((𝐵 − 1) /
2)))) |
90 | 89 | oveq1d 6665 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((2
· (((𝐴 − 1) /
2) · ((𝐵 − 1)
/ 2))) + (((𝐴 − 1) /
2) + ((𝐵 − 1) / 2)))
· ((𝑁 − 1) /
2))) |
91 | 70, 83 | zmulcld 11488 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ∈
ℤ) |
92 | 55, 91 | zmulcld 11488 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴 − 1) / 2) ·
((𝐵 − 1) / 2)))
∈ ℤ) |
93 | 92 | zcnd 11483 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴 − 1) / 2) ·
((𝐵 − 1) / 2)))
∈ ℂ) |
94 | 70, 83 | zaddcld 11486 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ∈
ℤ) |
95 | 94 | zcnd 11483 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ∈
ℂ) |
96 | | lgsquad2.3 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
97 | 96 | nnzd 11481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
98 | | lgsquad2.4 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁) |
99 | | omoe 15088 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2
∥ 𝑁) ∧ (1 ∈
ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑁 − 1)) |
100 | 97, 98, 62, 65, 99 | syl22anc 1327 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑁 − 1)) |
101 | | peano2zm 11420 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈
ℤ) |
102 | 97, 101 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ) |
103 | | dvdsval2 14986 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2
∥ (𝑁 − 1)
↔ ((𝑁 − 1) / 2)
∈ ℤ)) |
104 | 55, 45, 102, 103 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈
ℤ)) |
105 | 100, 104 | mpbid 222 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈
ℤ) |
106 | 105 | zcnd 11483 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈
ℂ) |
107 | 93, 95, 106 | adddird 10065 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) ·
((𝐵 − 1) / 2))) +
(((𝐴 − 1) / 2) +
((𝐵 − 1) / 2)))
· ((𝑁 − 1) /
2)) = (((2 · (((𝐴
− 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ·
((𝑁 − 1) /
2)))) |
108 | 91 | zcnd 11483 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ∈
ℂ) |
109 | 43, 108, 106 | mulassd 10063 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) ·
((𝐵 − 1) / 2)))
· ((𝑁 − 1) /
2)) = (2 · ((((𝐴
− 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) /
2)))) |
110 | 109 | oveq1d 6665 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) ·
((𝐵 − 1) / 2)))
· ((𝑁 − 1) /
2)) + ((((𝐴 − 1) / 2)
+ ((𝐵 − 1) / 2))
· ((𝑁 − 1) /
2))) = ((2 · ((((𝐴
− 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ·
((𝑁 − 1) /
2)))) |
111 | 90, 107, 110 | 3eqtrd 2660 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((2 ·
((((𝐴 − 1) / 2)
· ((𝐵 − 1) /
2)) · ((𝑁 − 1)
/ 2))) + ((((𝐴 − 1) /
2) + ((𝐵 − 1) / 2))
· ((𝑁 − 1) /
2)))) |
112 | 111 | oveq2d 6666 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) ·
((𝑁 − 1) / 2))) =
(-1↑((2 · ((((𝐴
− 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ·
((𝑁 − 1) /
2))))) |
113 | | neg1cn 11124 |
. . . . . 6
⊢ -1 ∈
ℂ |
114 | 113 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → -1 ∈
ℂ) |
115 | | neg1ne0 11126 |
. . . . . 6
⊢ -1 ≠
0 |
116 | 115 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → -1 ≠
0) |
117 | 91, 105 | zmulcld 11488 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ·
((𝑁 − 1) / 2)) ∈
ℤ) |
118 | 55, 117 | zmulcld 11488 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (2 · ((((𝐴 − 1) / 2) ·
((𝐵 − 1) / 2))
· ((𝑁 − 1) /
2))) ∈ ℤ) |
119 | 94, 105 | zmulcld 11488 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈
ℤ) |
120 | | expaddz 12904 |
. . . . 5
⊢ (((-1
∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ·
((𝑁 − 1) / 2)))
∈ ℤ ∧ ((((𝐴
− 1) / 2) + ((𝐵
− 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) →
(-1↑((2 · ((((𝐴
− 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ·
((𝑁 − 1) / 2)))) =
((-1↑(2 · ((((𝐴
− 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ·
(-1↑((((𝐴 − 1) /
2) + ((𝐵 − 1) / 2))
· ((𝑁 − 1) /
2))))) |
121 | 114, 116,
118, 119, 120 | syl22anc 1327 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (-1↑((2 ·
((((𝐴 − 1) / 2)
· ((𝐵 − 1) /
2)) · ((𝑁 − 1)
/ 2))) + ((((𝐴 − 1) /
2) + ((𝐵 − 1) / 2))
· ((𝑁 − 1) /
2)))) = ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ·
((𝑁 − 1) / 2))))
· (-1↑((((𝐴
− 1) / 2) + ((𝐵
− 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))) |
122 | | expmulz 12906 |
. . . . . . 7
⊢ (((-1
∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) ·
((𝐵 − 1) / 2))
· ((𝑁 − 1) /
2)) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ·
((𝑁 − 1) / 2)))) =
((-1↑2)↑((((𝐴
− 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) /
2)))) |
123 | 114, 116,
55, 117, 122 | syl22anc 1327 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (-1↑(2 ·
((((𝐴 − 1) / 2)
· ((𝐵 − 1) /
2)) · ((𝑁 − 1)
/ 2)))) = ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ·
((𝑁 − 1) /
2)))) |
124 | | neg1sqe1 12959 |
. . . . . . . 8
⊢
(-1↑2) = 1 |
125 | 124 | oveq1i 6660 |
. . . . . . 7
⊢
((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ·
((𝑁 − 1) / 2))) =
(1↑((((𝐴 − 1) /
2) · ((𝐵 − 1)
/ 2)) · ((𝑁 −
1) / 2))) |
126 | | 1exp 12889 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐴 − 1) /
2) · ((𝐵 − 1)
/ 2)) · ((𝑁 −
1) / 2)) ∈ ℤ → (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ·
((𝑁 − 1) / 2))) =
1) |
127 | 117, 126 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (1↑((((𝐴 − 1) / 2) ·
((𝐵 − 1) / 2))
· ((𝑁 − 1) /
2))) = 1) |
128 | 125, 127 | syl5eq 2668 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 →
((-1↑2)↑((((𝐴
− 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) =
1) |
129 | 123, 128 | eqtrd 2656 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (-1↑(2 ·
((((𝐴 − 1) / 2)
· ((𝐵 − 1) /
2)) · ((𝑁 − 1)
/ 2)))) = 1) |
130 | 129 | oveq1d 6665 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((-1↑(2 ·
((((𝐴 − 1) / 2)
· ((𝐵 − 1) /
2)) · ((𝑁 − 1)
/ 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (1
· (-1↑((((𝐴
− 1) / 2) + ((𝐵
− 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))) |
131 | 121, 130 | eqtrd 2656 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (-1↑((2 ·
((((𝐴 − 1) / 2)
· ((𝐵 − 1) /
2)) · ((𝑁 − 1)
/ 2))) + ((((𝐴 − 1) /
2) + ((𝐵 − 1) / 2))
· ((𝑁 − 1) /
2)))) = (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) /
2))))) |
132 | 114, 116,
119 | expclzd 13013 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ·
((𝑁 − 1) / 2)))
∈ ℂ) |
133 | 132 | mulid2d 10058 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (1 ·
(-1↑((((𝐴 − 1) /
2) + ((𝐵 − 1) / 2))
· ((𝑁 − 1) /
2)))) = (-1↑((((𝐴
− 1) / 2) + ((𝐵
− 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) |
134 | 71, 84, 106 | adddird 10065 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((((𝐴 − 1) / 2) ·
((𝑁 − 1) / 2)) +
(((𝐵 − 1) / 2)
· ((𝑁 − 1) /
2)))) |
135 | 134 | oveq2d 6666 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ·
((𝑁 − 1) / 2))) =
(-1↑((((𝐴 − 1) /
2) · ((𝑁 − 1)
/ 2)) + (((𝐵 − 1) /
2) · ((𝑁 − 1)
/ 2))))) |
136 | 133, 135 | eqtrd 2656 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (1 ·
(-1↑((((𝐴 − 1) /
2) + ((𝐵 − 1) / 2))
· ((𝑁 − 1) /
2)))) = (-1↑((((𝐴
− 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) /
2))))) |
137 | 112, 131,
136 | 3eqtrd 2660 |
. 2
⊢ (𝜑 → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) ·
((𝑁 − 1) / 2))) =
(-1↑((((𝐴 − 1) /
2) · ((𝑁 − 1)
/ 2)) + (((𝐵 − 1) /
2) · ((𝑁 − 1)
/ 2))))) |
138 | | lgsquad2lem1.1 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) = (-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) /
2)))) |
139 | | lgsquad2lem1.2 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵)) = (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) /
2)))) |
140 | 138, 139 | oveq12d 6668 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ·
(-1↑(((𝐵 − 1) /
2) · ((𝑁 − 1)
/ 2))))) |
141 | 70, 105 | zmulcld 11488 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈
ℤ) |
142 | 83, 105 | zmulcld 11488 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈
ℤ) |
143 | | expaddz 12904 |
. . . 4
⊢ (((-1
∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ
∧ (((𝐵 − 1) / 2)
· ((𝑁 − 1) /
2)) ∈ ℤ)) → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) ·
((𝑁 − 1) / 2)))) =
((-1↑(((𝐴 − 1) /
2) · ((𝑁 − 1)
/ 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) /
2))))) |
144 | 114, 116,
141, 142, 143 | syl22anc 1327 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) ·
((𝑁 − 1) / 2)) +
(((𝐵 − 1) / 2)
· ((𝑁 − 1) /
2)))) = ((-1↑(((𝐴
− 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ·
(-1↑(((𝐵 − 1) /
2) · ((𝑁 − 1)
/ 2))))) |
145 | 140, 144 | eqtr4d 2659 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) ·
((𝑁 − 1) /
2))))) |
146 | | lgscl 25036 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈
ℤ) |
147 | 3, 97, 146 | syl2anc 693 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ) |
148 | 147 | zcnd 11483 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ) |
149 | | lgscl 25036 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑁) ∈
ℤ) |
150 | 9, 97, 149 | syl2anc 693 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ) |
151 | 150 | zcnd 11483 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ) |
152 | | lgscl 25036 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝐴) ∈
ℤ) |
153 | 97, 3, 152 | syl2anc 693 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑁 /L 𝐴) ∈ ℤ) |
154 | 153 | zcnd 11483 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑁 /L 𝐴) ∈ ℂ) |
155 | | lgscl 25036 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝐵) ∈
ℤ) |
156 | 97, 9, 155 | syl2anc 693 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑁 /L 𝐵) ∈ ℤ) |
157 | 156 | zcnd 11483 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑁 /L 𝐵) ∈ ℂ) |
158 | 148, 151,
154, 157 | mul4d 10248 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) · ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵))) = (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵)))) |
159 | 2 | nnne0d 11065 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0) |
160 | 8 | nnne0d 11065 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0) |
161 | | lgsdir 25057 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁))) |
162 | 3, 9, 97, 159, 160, 161 | syl32anc 1334 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁))) |
163 | 1 | oveq1d 6665 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = (𝑀 /L 𝑁)) |
164 | 162, 163 | eqtr3d 2658 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = (𝑀 /L 𝑁)) |
165 | | lgsdi 25059 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑁 /L (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵))) |
166 | 97, 3, 9, 159, 160, 165 | syl32anc 1334 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑁 /L (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵))) |
167 | 1 | oveq2d 6666 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑁 /L (𝐴 · 𝐵)) = (𝑁 /L 𝑀)) |
168 | 166, 167 | eqtr3d 2658 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵)) = (𝑁 /L 𝑀)) |
169 | 164, 168 | oveq12d 6668 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) · ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵))) = ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀))) |
170 | 158, 169 | eqtr3d 2658 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))) = ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀))) |
171 | 137, 145,
170 | 3eqtr2rd 2663 |
1
⊢ (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) /
2)))) |