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Theorem lgsquad2lem1 25109

Description: Lemma for lgsquad2 25111. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgsquad2.1
lgsquad2.2
lgsquad2.3
lgsquad2.4
lgsquad2.5
lgsquad2lem1.a
lgsquad2lem1.b
lgsquad2lem1.m
lgsquad2lem1.1
lgsquad2lem1.2

**Assertion**
Ref	Expression
lgsquad2lem1

**Proof of Theorem lgsquad2lem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2lem1.m	. . . . . . . . . . 11
2		lgsquad2lem1.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16
3	2	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . 15
4	3	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14
5		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . 14
6		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
7	4, 5, 6	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13
8		lgsquad2lem1.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16
9	8	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . 15
10	9	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14
11		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
12	10, 5, 11	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13
13	7, 12	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
14		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15	3, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
16	15	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14
17	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
18		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19	9, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
20	19	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14
21	16, 17, 20, 17	muladdd 10489	. . . . . . . . . . . . 13
22		1t1e1 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
24	23	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
25	16	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	20	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	25, 26	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
28	24, 27	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13
29	21, 28	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12
30	13, 29	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11
31	1, 30	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10
32	31	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
33	16, 20	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11
34		addcl 10018	. . . . . . . . . . 11 $/\$
35	33, 5, 34	sylancl 694	. . . . . . . . . 10
36	16, 20	addcld 10059	. . . . . . . . . 10
37	35, 36, 17	addsubd 10413	. . . . . . . . 9
38		pncan 10287	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	33, 5, 38	sylancl 694	. . . . . . . . . 10
40	39	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
41	32, 37, 40	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8
42	41	oveq1d 6665	. . . . . . 7
43		2cnd 11093	. . . . . . . 8
44		2ne0 11113	. . . . . . . . 9
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8
46	33, 36, 43, 45	divdird 10839	. . . . . . 7
47	16, 20, 43, 45	divassd 10836	. . . . . . . . 9
48	16, 43, 45	divcan2d 10803	. . . . . . . . . 10
49	48	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
50		lgsquad2.2	. . . . . . . . . . . . . 14
51		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
52	3, 9, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16
53	52, 1	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15
54		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56		lgsquad2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57	56	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
59	55, 3, 57, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	53, 59	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . 14
61	50, 60	mtod 189	. . . . . . . . . . . . 13
62		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . 13
63		2prm 15405	. . . . . . . . . . . . . 14
64		nprmdvds1 15418	. . . . . . . . . . . . . 14
65	63, 64	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13
66		omoe 15088	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
67	3, 61, 62, 65, 66	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12
68		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
69	55, 45, 15, 68	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12
70	67, 69	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11
71	70	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10
72		dvdsmul2 15004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
73	3, 9, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	73, 1	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15
75		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
76	55, 9, 57, 75	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
77	74, 76	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . 14
78	50, 77	mtod 189	. . . . . . . . . . . . 13
79		omoe 15088	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
80	9, 78, 62, 65, 79	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12
81		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	55, 45, 19, 81	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12
83	80, 82	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11
84	83	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10
85	43, 71, 84	mulassd 10063	. . . . . . . . 9
86	47, 49, 85	3eqtr2d 2662	. . . . . . . 8
87	16, 20, 43, 45	divdird 10839	. . . . . . . 8
88	86, 87	oveq12d 6668	. . . . . . 7
89	42, 46, 88	3eqtrd 2660	. . . . . 6
90	89	oveq1d 6665	. . . . 5
91	70, 83	zmulcld 11488	. . . . . . . 8
92	55, 91	zmulcld 11488	. . . . . . 7
93	92	zcnd 11483	. . . . . 6
94	70, 83	zaddcld 11486	. . . . . . 7
95	94	zcnd 11483	. . . . . 6
96		lgsquad2.3	. . . . . . . . . 10
97	96	nnzd 11481	. . . . . . . . 9
98		lgsquad2.4	. . . . . . . . 9
99		omoe 15088	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
100	97, 98, 62, 65, 99	syl22anc 1327	. . . . . . . 8
101		peano2zm 11420	. . . . . . . . . 10
102	97, 101	syl 17	. . . . . . . . 9
103		dvdsval2 14986	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
104	55, 45, 102, 103	syl3anc 1326	. . . . . . . 8
105	100, 104	mpbid 222	. . . . . . 7
106	105	zcnd 11483	. . . . . 6
107	93, 95, 106	adddird 10065	. . . . 5
108	91	zcnd 11483	. . . . . . 7
109	43, 108, 106	mulassd 10063	. . . . . 6
110	109	oveq1d 6665	. . . . 5
111	90, 107, 110	3eqtrd 2660	. . . 4
112	111	oveq2d 6666	. . 3
113		neg1cn 11124	. . . . . 6
114	113	a1i 11	. . . . 5
115		neg1ne0 11126	. . . . . 6
116	115	a1i 11	. . . . 5
117	91, 105	zmulcld 11488	. . . . . 6
118	55, 117	zmulcld 11488	. . . . 5
119	94, 105	zmulcld 11488	. . . . 5
120		expaddz 12904	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
121	114, 116, 118, 119, 120	syl22anc 1327	. . . 4
122		expmulz 12906	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
123	114, 116, 55, 117, 122	syl22anc 1327	. . . . . 6
124		neg1sqe1 12959	. . . . . . . 8
125	124	oveq1i 6660	. . . . . . 7
126		1exp 12889	. . . . . . . 8
127	117, 126	syl 17	. . . . . . 7
128	125, 127	syl5eq 2668	. . . . . 6
129	123, 128	eqtrd 2656	. . . . 5
130	129	oveq1d 6665	. . . 4
131	121, 130	eqtrd 2656	. . 3
132	114, 116, 119	expclzd 13013	. . . . 5
133	132	mulid2d 10058	. . . 4
134	71, 84, 106	adddird 10065	. . . . 5
135	134	oveq2d 6666	. . . 4
136	133, 135	eqtrd 2656	. . 3
137	112, 131, 136	3eqtrd 2660	. 2
138		lgsquad2lem1.1	. . . 4
139		lgsquad2lem1.2	. . . 4
140	138, 139	oveq12d 6668	. . 3
141	70, 105	zmulcld 11488	. . . 4
142	83, 105	zmulcld 11488	. . . 4
143		expaddz 12904	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
144	114, 116, 141, 142, 143	syl22anc 1327	. . 3
145	140, 144	eqtr4d 2659	. 2
146		lgscl 25036	. . . . . 6 $/\$
147	3, 97, 146	syl2anc 693	. . . . 5
148	147	zcnd 11483	. . . 4
149		lgscl 25036	. . . . . 6 $/\$
150	9, 97, 149	syl2anc 693	. . . . 5
151	150	zcnd 11483	. . . 4
152		lgscl 25036	. . . . . 6 $/\$
153	97, 3, 152	syl2anc 693	. . . . 5
154	153	zcnd 11483	. . . 4
155		lgscl 25036	. . . . . 6 $/\$
156	97, 9, 155	syl2anc 693	. . . . 5
157	156	zcnd 11483	. . . 4
158	148, 151, 154, 157	mul4d 10248	. . 3
159	2	nnne0d 11065	. . . . . 6
160	8	nnne0d 11065	. . . . . 6
161		lgsdir 25057	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162	3, 9, 97, 159, 160, 161	syl32anc 1334	. . . . 5
163	1	oveq1d 6665	. . . . 5
164	162, 163	eqtr3d 2658	. . . 4
165		lgsdi 25059	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	97, 3, 9, 159, 160, 165	syl32anc 1334	. . . . 5
167	1	oveq2d 6666	. . . . 5
168	166, 167	eqtr3d 2658	. . . 4
169	164, 168	oveq12d 6668	. . 3
170	158, 169	eqtr3d 2658	. 2
171	137, 145, 170	3eqtr2rd 2663	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cz 11377

cexp 12860

cdvds 14983

cgcd 15216

cprime 15385

clgs 25019

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-phi 15471 df-pc 15542 df-lgs 25020

This theorem is referenced by: lgsquad2lem2 25110

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