Theorem divcan2d 10803

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 10693	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1326	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936   · cmul 9941   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  nneo  11461  zeo2  11464  intfracq  12658  discr  13001  hashf1  13241  caurcvgr  14404  iseralt  14415  mertenslem1  14616  fprodle  14727  bpoly4  14790  tanadd  14897  divconjdvds  15037  mod2eq1n2dvds  15071  bitsmod  15158  mulgcd  15265  qredeq  15371  qredeu  15372  prmind2  15398  isprm5  15419  pythagtriplem19  15538  pcprendvds2  15546  pcpremul  15548  pcadd  15593  prmreclem1  15620  4sqlem19  15667  ablfac1lem  18467  pgpfac1lem3  18476  prmirredlem  19841  znrrg  19914  metnrmlem3  22664  lebnumlem3  22762  pcoass  22824  ipcau2  23033  4cphipval2  23041  minveclem3  23200  sca2rab  23280  ovolscalem1  23281  uniioombllem4  23354  uniioombl  23357  itg1mulc  23471  itg2const2  23508  dvrec  23718  dveflem  23742  lhop1  23777  vieta1  24067  elqaalem3  24076  abelthlem8  24193  tangtx  24257  tanregt0  24285  eff1olem  24294  eflogeq  24348  argregt0  24356  argrege0  24357  argimgt0  24358  cxpeq  24498  ang180lem5  24543  lawcoslem1  24545  isosctrlem2  24549  isosctrlem3  24550  heron  24565  dcubic1lem  24570  dcubic2  24571  dcubic1  24572  mcubic  24574  dquartlem1  24578  dquart  24580  quart1lem  24582  quart1  24583  quart  24588  atantayl2  24665  birthdaylem2  24679  ftalem5  24803  basellem3  24809  basellem4  24810  fsumdvdsdiaglem  24909  logexprlim  24950  mersenne  24952  perfectlem2  24955  perfect  24956  bposlem9  25017  lgsqrlem2  25072  lgseisenlem1  25100  lgseisenlem3  25102  lgsquadlem1  25105  lgsquad2lem1  25109  m1lgs  25113  2sqlem8  25151  rplogsumlem1  25173  dchrvmasumiflem2  25191  dchrisum0flblem2  25198  dchrisum0fno1  25200  dchrisum0lem1  25205  mulog2sumlem3  25225  selberglem2  25235  selberg3lem1  25246  selberg4lem1  25249  selberg3r  25258  selberg4r  25259  pntrlog2bndlem2  25267  pntlemg  25287  axsegconlem10  25806  axeuclidlem  25842  oddpwdc  30416  subfacval2  31169  circum  31568  faclimlem1  31629  nn0prpwlem  32317  knoppndvlem19  32521  areacirclem1  33500  areacirclem4  33503  cntotbnd  33595  irrapxlem5  37390  pellexlem2  37394  jm2.22  37562  jm2.20nn  37564  nzss  38516  binomcxplemnotnn0  38555  oddfl  39489  xralrple3  39590  sumnnodd  39862  limclner  39883  stoweidlem62  40279  stirlinglem1  40291  dirkertrigeqlem2  40316  dirkertrigeqlem3  40317  fourierdlem66  40389  fourierdlem73  40396  fourierdlem87  40410  qndenserrnbllem  40514  hoiqssbllem2  40837  fmtnoprmfac2lem1  41478  sfprmdvdsmersenne  41520  dfeven4  41551  oddflALTV  41575  nn0onn0exALTV  41609  perfectALTVlem2  41631  perfectALTV  41632  nn0onn0ex  42318