Theorem limcperiod 39860

Description: If 𝐹 is a periodic function with period 𝑇, the limit doesn't change if we shift the limiting point by 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcperiod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
limcperiod.assc	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcperiod.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
limcperiod.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
limcperiod.b	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
limcperiod.bss	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
limcperiod.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦))
limcperiod.clim	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
limcperiod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝐷 + 𝑇)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem limcperiod

Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 23639	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
2		limcperiod.clim	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷))
3	1, 2	sseldi 3601	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		limcperiod.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
5		limcperiod.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
6	4, 5	fssresd 6071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶ℂ)
7		limcperiod.assc	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
8		limcrcl 23638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷) → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
9	2, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
10	9	simp3d 1075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
11	6, 7, 10	ellimc3 23643	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))))
12	2, 11	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)))
13	12	simprd 479	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
14	13	r19.21bi 2932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
15		simpl1l 1112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝜑)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → 𝜑)
17		simplr 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
18		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ 𝐵)
19		limcperiod.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
20		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + 𝑇) = (𝑧 + 𝑇))
21	20	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
22	21	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
23		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
24	23	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
25	22, 24	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
26	25	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
27	19, 26	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
28	18, 27	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
29		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
30	29	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
31	30	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
32	28, 31	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝑏 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
33	32	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
35		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏 − 𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇))
36	35	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏 − 𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇))
37	7	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
38		limcperiod.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
40	37, 39	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑧)
41	40	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑧)
42	36, 41	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏 − 𝑇) = 𝑧)
43		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
44	42, 43	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴)
45	44	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴)))
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴)))
47	46	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴))
48	34, 47	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴)
49		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ⊆ ℂ
50	27, 49	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
52	51	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℂ)
53	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
54	52, 53	npcand 10396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏 − 𝑇) + 𝑇) = 𝑏)
55	54	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 = ((𝑏 − 𝑇) + 𝑇))
56		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑏 − 𝑇) → (𝑥 + 𝑇) = ((𝑏 − 𝑇) + 𝑇))
57	56	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑏 − 𝑇) → (𝑏 = (𝑥 + 𝑇) ↔ 𝑏 = ((𝑏 − 𝑇) + 𝑇)))
58	57	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = ((𝑏 − 𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
59	48, 55, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
60	16, 17, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
61		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
62		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
63	19, 62	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
64	63	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ 𝐵
65	61, 64	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)
66		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
67	65, 66	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧))
68		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥abs
69		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
70	69, 63	nfres 5398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹 ↾ 𝐵)
71		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑏
72	70, 71	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏)
73		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥 −
74		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
75	72, 73, 74	nfov 6676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)
76	68, 75	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶))
77		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 <
78		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
79	76, 77, 78	nfbr 4699	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤
80		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
81	80	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) = ((𝐹 ↾ 𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)))
82	17	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
83	80, 82	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ 𝐵)
84		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 + 𝑇) ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
86	16	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝜑)
87		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
88		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
89	88	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
90		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
91	90	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
92		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
93	91, 92	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥)))
94	89, 93	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))))
95		limcperiod.fper	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦))
96	94, 95	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
97	86, 87, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
98		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
99	87, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
100	97, 99	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥))
101	81, 85, 100	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥))
102	101	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶) = (((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶))
103	102	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) = (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)))
104		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
105	104	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
106	105, 87	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
107		simp1rl 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇))
108	107	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ¬ 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
109		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 + 𝑇) = (𝐷 + 𝑇))
110	80, 109	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) ∧ 𝑥 = 𝐷) → 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
111	108, 110	mtand 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ¬ 𝑥 = 𝐷)
112	111	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ≠ 𝐷)
113	80	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑏 − (𝐷 + 𝑇)) = ((𝑥 + 𝑇) − (𝐷 + 𝑇)))
114	7	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
115	86, 87, 114	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℂ)
116	86, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝐷 ∈ ℂ)
117	86, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℂ)
118	115, 116, 117	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) − (𝐷 + 𝑇)) = (𝑥 − 𝐷))
119	113, 118	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥 − 𝐷) = (𝑏 − (𝐷 + 𝑇)))
120	119	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑥 − 𝐷)) = (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))))
121		simp1rr 1127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
122	120, 121	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧)
123	112, 122	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧))
124		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≠ 𝐷 ↔ 𝑥 ≠ 𝐷))
125		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 − 𝐷) = (𝑥 − 𝐷))
126	125	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝑦 − 𝐷)) = (abs‘(𝑥 − 𝐷)))
127	126	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧))
128	124, 127	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) ↔ (𝑥 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧)))
129		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥))
130	129	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶) = (((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶))
131	130	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) = (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)))
132	131	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤))
133	128, 132	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ↔ ((𝑥 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤)))
134	133	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤))
135	106, 123, 134	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤)
136	103, 135	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)
137	136	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑏 = (𝑥 + 𝑇) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)))
138	67, 79, 137	rexlimd 3026	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
139	60, 138	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)
140	139	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
141	140	ralrimiva 2966	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
142	141	3exp 1264	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))))
143	142	reximdvai 3015	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)))
144	14, 143	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
145	144	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
146		limcperiod.bss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
147	4, 146	fssresd 6071	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)
148	10, 38	addcld 10059	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝑇) ∈ ℂ)
149	147, 51, 148	ellimc3 23643	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝐷 + 𝑇)) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))))
150	3, 145, 149	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝐷 + 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  dom cdm 5114   ↾ cres 5116  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   + caddc 9939   < clt 10074   − cmin 10266  ℝ⁺crp 11832  abscabs 13974   lim_ℂ climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem81  40404  fourierdlem89  40412  fourierdlem91  40414  fourierdlem92  40415