Theorem lsatcvatlem 34336

Description: Lemma for lsatcvat 34337. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcvat.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcvat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatcvat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat.n	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })
lsatcvat.l	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
lsatcvat.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lsatcvatlem	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatcvatlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcvat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lsatcvat.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lsatcvat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lsatcvat.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 19106	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lsatcvat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8		lsatcvat.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })
9	1, 2, 3, 6, 7, 8	lssatomic 34298	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑈)
10		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ( ⋖L ‘𝑊) = ( ⋖L ‘𝑊)
11	4	3ad2ant1 1082	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
12	6	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
13		simp2 1062	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	1, 3, 12, 13	lsatlssel 34284	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑆)
15		lsatcvat.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
16	1, 3, 6, 15	lsatlssel 34284	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
17	16	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ∈ 𝑆)
18		lsatcvat.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
19	1, 18	lsmcl 19083	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ 𝑆)
20	12, 17, 14, 19	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ 𝑆)
21	7	3ad2ant1 1082	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
22		lsatcvat.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
23	22	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
24		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑄 → (𝑥 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑄 ⊆ 𝑈))
25	24	biimpcd 239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → (𝑥 = 𝑄 → 𝑄 ⊆ 𝑈))
26	25	necon3bd 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ≠ 𝑄))
27	26	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ≠ 𝑄))
28	23, 27	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ≠ 𝑄)
29	15	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ∈ 𝐴)
30	2, 3, 11, 13, 29	lsatnem0 34332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ≠ 𝑄 ↔ (𝑥 ∩ 𝑄) = { 0 }))
31	28, 30	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∩ 𝑄) = { 0 })
32	1, 18, 2, 3, 10, 11, 14, 29	lcvp 34327	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → ((𝑥 ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ 𝑥( ⋖L ‘𝑊)(𝑥 ⊕ 𝑄)))
33	31, 32	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥( ⋖L ‘𝑊)(𝑥 ⊕ 𝑄))
34		lmodabl 18910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
35	12, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ Abel)
36	1	lsssssubg 18958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
37	12, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
38	37, 14	sseldd 3604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
39	37, 17	sseldd 3604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
40	18	lsmcom 18261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑥 ⊕ 𝑄) = (𝑄 ⊕ 𝑥))
41	35, 38, 39, 40	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ⊕ 𝑄) = (𝑄 ⊕ 𝑥))
42	33, 41	breqtrd 4679	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥( ⋖L ‘𝑊)(𝑄 ⊕ 𝑥))
43		simp3 1063	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ⊆ 𝑈)
44		lsatcvat.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
45	44	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑅))
46	18	lsmub1 18071	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
47	39, 38, 46	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
48		lsatcvat.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
49	48	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ∈ 𝐴)
50	44	pssssd 3704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑅))
51	50	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑅))
52	43, 51	sstrd 3613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑅))
53	18, 3, 11, 13, 49, 29, 52, 28	lsatexch1 34333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
54	1, 3, 6, 48	lsatlssel 34284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
55	54	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ∈ 𝑆)
56	37, 55	sseldd 3604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
57	37, 20	sseldd 3604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊))
58	18	lsmlub 18078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑄 ⊕ 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)) ↔ (𝑄 ⊕ 𝑅) ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)))
59	39, 56, 57, 58	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)) ↔ (𝑄 ⊕ 𝑅) ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥)))
60	47, 53, 59	mpbi2and 956	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ⊆ (𝑄 ⊕ 𝑥))
61	45, 60	psssstrd 3716	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 ⊕ 𝑥))
62	1, 10, 11, 14, 20, 21, 42, 43, 61	lcvnbtwn3 34315	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 = 𝑥)
63	62, 13	eqeltrd 2701	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
64	63	rexlimdv3a 3033	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑈 → 𝑈 ∈ 𝐴))
65	9, 64	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574   ⊊ wpss 3575  {csn 4177   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0_gc0g 16100  SubGrpcsubg 17588  LSSumclsm 18049  Abelcabl 18194  LModclmod 18863  LSubSpclss 18932  LVecclvec 19102  LSAtomsclsa 34261   ⋖_L clcv 34305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lcv 34306

This theorem is referenced by:  lsatcvat  34337