Theorem meadjiun 40683

Description: The measure of the disjoint union of a countable set is the extended sum of the measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meadjiun.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
meadjiun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meadjiun.s	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meadjiun.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
meadjiun.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
meadjiun.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
meadjiun	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem meadjiun

Dummy variables 𝑥 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meadjiun.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		meadjiun.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
3	2	ex 450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝑆))
4	1, 3	ralrimi 2957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
5		dfiun3g 5378	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
7	6	fveq2d 6195	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
8		meadjiun.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
9		meadjiun.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
10		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
11	10	rnmptss 6392	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝑆)
12	4, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝑆)
13		meadjiun.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
14		1stcrestlem 21255	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
16		meadjiun.dj	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
17	10	disjrnmpt2 39375	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑥)
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑥)
19	8, 9, 12, 15, 18	meadjuni 40674	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
20		reldom 7961	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
21		brrelex 5156	. . . . . 6 ⊢ ((Rel ≼ ∧ 𝐴 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
22	20, 21	mpan 706	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
23	13, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
24	1, 2, 10	fmptdf 6387	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑆)
25		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖))
26	25	neeq1d 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≠ ∅ ↔ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ≠ ∅))
27	26	cbvrabv 3199	. . . 4 ⊢ {𝑗 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≠ ∅} = {𝑖 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ≠ ∅}
28		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑖 ∈ 𝐴)
29		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 ∈ 𝐴
30	1, 29	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)
31		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑖
32	31	nfcsb1 3548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵
33		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
34	32, 33	nfel 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆
35	30, 34	nfim 1825	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
36		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑖 ∈ 𝐴))
37	36	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)))
38		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐵 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
39	38	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆))
40	37, 39	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)))
41	35, 40, 2	chvar 2262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
42	31, 32, 38, 10	fvmptf 6301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
43	28, 41, 42	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
44	43	disjeq2dv 4625	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
45		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖𝐵
46	45, 32, 38	cbvdisj 4630	. . . . . . . 8 ⊢ (Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
47	46	bicomi 214	. . . . . . 7 ⊢ (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ↔ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
48	47	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ↔ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
49	44, 48	bitrd 268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
50	16, 49	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖))
51	8, 9, 23, 24, 27, 50	meadjiunlem 40682	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
52	45, 32, 38	cbvmpt 4749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
53	52	coeq2i 5282	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
54	53	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)))
55		eqidd 2623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
56	8, 9	meaf 40670	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
57	56	feqmptd 6249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘𝑦)))
58		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
59	41, 55, 57, 58	fmptco 6396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)))
60		nfcv 2764	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑀‘𝐵)
61		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑀
62	61, 32	nffv 6198	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
63	38	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
64	60, 62, 63	cbvmpt 4749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵)) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
65	64	eqcomi 2631	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))
66	65	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵)))
67	54, 59, 66	3eqtrd 2660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵)))
68	67	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))
69	51, 68	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))
70	7, 19, 69	3eqtrd 2660	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  Ⅎwnf 1708   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  {crab 2916  Vcvv 3200  ⦋csb 3533   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ∪ cuni 4436  ∪ ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ran crn 5115   ↾ cres 5116   ∘ ccom 5118  Rel wrel 5119  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ωcom 7065   ≼ cdom 7953  0cc0 9936  +∞cpnf 10071  [,]cicc 12178  Σ^{^}csumge0 40579  Meascmea 40666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580  df-mea 40667

This theorem is referenced by:  meaiunlelem  40685  meaiuninclem  40697  vonct  40907