Theorem nlmvscnlem1 22490

Description: Lemma for nlmvscn 22491. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmvscn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmvscn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmvscn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmvscn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmvscn.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
nlmvscn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmvscn.a	⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
nlmvscn.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmvscn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
nlmvscn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
nlmvscn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
nlmvscn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
nlmvscn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
nlmvscnlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝐷,𝑟   𝐸,𝑟   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑟,𝑦,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   𝐹,𝑟,𝑥,𝑦   𝐾,𝑟,𝑦   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦   · ,𝑟,𝑥,𝑦   𝑋,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nlmvscnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmvscn.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
2		nlmvscn.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3	2	rphalfcld 11884	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4		nlmvscn.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
5		nlmvscn.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6	5	nlmngp2 22484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
7	4, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ NrmGrp)
8		nlmvscn.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		nlmvscn.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		nlmvscn.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
11	9, 10	nmcl 22420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
12	7, 8, 11	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
13	9, 10	nmge0 22421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
14	7, 8, 13	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
15	12, 14	ge0p1rpd 11902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
16	3, 15	rpdivcld 11889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ+)
17	1, 16	syl5eqel 2705	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
18		nlmvscn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
19		nlmngp 22481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
20	4, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
21		nlmvscn.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
22		nlmvscn.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
23		nlmvscn.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
24	22, 23	nmcl 22420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
25	20, 21, 24	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
26	17	rpred 11872	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
27	25, 26	readdcld 10069	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ)
28		0red 10041	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
29	22, 23	nmge0 22421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
30	20, 21, 29	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
31	25, 17	ltaddrpd 11905	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
32	28, 25, 27, 30, 31	lelttrd 10195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
33	27, 32	elrpd 11869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ+)
34	3, 33	rpdivcld 11889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
35	18, 34	syl5eqel 2705	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
36	17, 35	ifcld 4131	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
37		nlmvscn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
38		nlmvscn.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
39		nlmvscn.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
40	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ NrmMod)
41	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
42	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐵 ∈ 𝐾)
43	21	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
44		simprll 802	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑥 ∈ 𝐾)
45		simprlr 803	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
46	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
47		ngpms 22404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐹 ∈ MetSp)
49	9, 38	mscl 22266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐵𝐸𝑥) ∈ ℝ)
50	48, 42, 44, 49	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) ∈ ℝ)
51	36	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
52	51	rpred 11872	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ)
53	35	rpred 11872	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
54	53	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
55		simprrl 804	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
56	26	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
57		min2 12021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
58	56, 54, 57	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
59	50, 52, 54, 55, 58	ltletrd 10197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) < 𝑈)
60		ngpms 22404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
61	20, 60	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
62	61	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
63	22, 37	mscl 22266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
64	62, 43, 45, 63	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
65		simprrr 805	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
66		min1 12020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
67	56, 54, 66	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
68	64, 52, 56, 65, 67	ltletrd 10197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) < 𝑇)
69	5, 22, 9, 37, 38, 23, 10, 39, 1, 18, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 59, 68	nlmvscnlem2 22489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)
70	69	expr 643	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
71	70	ralrimivva 2971	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
72		breq2 4657	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ↔ (𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
73		breq2 4657	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝑋𝐷𝑦) < 𝑟 ↔ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
74	72, 73	anbi12d 747	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) ↔ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))))
75	74	imbi1d 331	. . . 4 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅) ↔ (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)))
76	75	2ralbidv 2989	. . 3 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)))
77	76	rspcev 3309	. 2 ⊢ ((if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
78	36, 71, 77	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  ifcif 4086   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   / cdiv 10684  2c2 11070  ℝ⁺crp 11832  Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  distcds 15950  MetSpcmt 22123  normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382  NrmModcnlm 22385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-xrs 16162  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391

This theorem is referenced by:  nlmvscn  22491