Theorem ltaddrpd 11905

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 11867	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935   + caddc 9939   < clt 10074  ℝ⁺crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  11906  xov1plusxeqvd  12318  isumltss  14580  effsumlt  14841  tanhlt1  14890  4sqlem12  15660  vdwlem1  15685  chfacfscmul0  20663  chfacfpmmul0  20667  nlmvscnlem2  22489  nlmvscnlem1  22490  iccntr  22624  icccmplem2  22626  reconnlem2  22630  lebnumii  22765  ipcnlem2  23043  ipcnlem1  23044  ivthlem2  23221  ovolgelb  23248  ovollb2lem  23256  itg2monolem3  23519  dvferm1lem  23747  lhop1lem  23776  lhop  23779  dvcnvrelem1  23780  dvcnvrelem2  23781  pserdvlem1  24181  pserdv  24183  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem3  24757  lgamucov  24764  perfectlem2  24955  bposlem2  25010  pntibndlem2  25280  pntlemb  25286  pntlem3  25298  tpr2rico  29958  omssubaddlem  30361  fibp1  30463  heicant  33444  itg2addnc  33464  rrnequiv  33634  pellfundex  37450  rmspecfund  37474  acongeq  37550  jm3.1lem2  37585  oddfl  39489  infrpge  39567  xralrple2  39570  xrralrecnnle  39602  iooiinicc  39769  iooiinioc  39783  fsumnncl  39803  climinf  39838  lptre2pt  39872  ioodvbdlimc1lem2  40147  wallispilem4  40285  dirkertrigeqlem3  40317  dirkercncflem2  40321  fourierdlem63  40386  fourierdlem65  40388  fourierdlem75  40398  fourierdlem79  40402  fouriersw  40448  etransclem35  40486  qndenserrnbllem  40514  omeiunltfirp  40733  hoidmvlelem1  40809  hoidmvlelem3  40811  hoiqssbllem3  40838  iinhoiicc  40888  iunhoiioo  40890  vonioolem2  40895  vonicclem1  40897  preimaleiinlt  40931  smfmullem3  41000  perfectALTVlem2  41631