Theorem nrginvrcn 22496

Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrginvrcn.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
nrginvrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nrginvrcn.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
nrginvrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nrginvrcn	⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))

Proof of Theorem nrginvrcn

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgring 22467	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		nrginvrcn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
4	2, 3	unitgrp 18667	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
5	2, 3	unitgrpbas 18666	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
6		nrginvrcn.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
7	2, 3, 6	invrfval 18673	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
8	5, 7	grpinvf 17466	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp → 𝐼:𝑈⟶𝑈)
9	1, 4, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼:𝑈⟶𝑈)
10		1rp 11836	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
11	10	ne0ii 3923	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
12	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
13		nrginvrcn.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
14	13, 2	unitss 18660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝑋
15		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
16	14, 15	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑋)
17		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
18	14, 17	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑋)
19		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
21	13, 19, 20	ring1eq0 18590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
22	12, 16, 18, 21	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑦)
24		nrgngp 22466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
25		ngpms 22404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ MetSp)
26		msxms 22259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
28	27	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
29	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼:𝑈⟶𝑈)
30	29	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑈)
31	14, 30	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋)
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
33	13, 32	xmseq0 22269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋) → (((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑦)))
34	28, 31, 31, 33	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑦)))
35	23, 34	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = 0)
36		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑟 ∈ ℝ+)
37	36	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 0 < 𝑟)
38	35, 37	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦))
40	39	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))
41	40	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟 ↔ ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
42	38, 41	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
43	22, 42	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
44	43	imp 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)
45	44	an32s 846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)
46	45	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
47	46	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
48	47	ralrimivw 2967	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
49		r19.2z 4060	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
50	11, 48, 49	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
51		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
52		simpll 790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
53	1	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
54		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
55	19, 20	isnzr 19259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
56	53, 54, 55	sylanbrc 698	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
57		simplrl 800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
58		simplrr 801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
59		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (if(1 ≤ (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟), 1, (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟)) · (((norm‘𝑅)‘𝑥) / 2)) = (if(1 ≤ (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟), 1, (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟)) · (((norm‘𝑅)‘𝑥) / 2))
60	13, 2, 6, 51, 32, 52, 56, 57, 58, 59	nrginvrcnlem 22495	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
61	50, 60	pm2.61dane 2881	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
62	15, 17	ovresd 6801	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) = (𝑥(dist‘𝑅)𝑦))
63	62	breq1d 4663	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 ↔ (𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠))
64		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ 𝑈)
65		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼:𝑈⟶𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑈)
66	9, 64, 65	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑈)
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑈)
68	67, 30	ovresd 6801	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) = ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))
69	68	breq1d 4663	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟 ↔ ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
70	63, 69	imbi12d 334	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟) ↔ ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)))
71	70	ralbidva 2985	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)))
72	71	rexbidv 3052	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)))
73	61, 72	mpbird 247	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
74	73	ralrimivva 2971	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
75		xpss12 5225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
76	14, 14, 75	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
77		resabs1 5427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋) → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))
79		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
80	13, 79	xmsxmet 22261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
81	24, 25, 26, 80	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
82		xmetres2 22166	. . . . . 6 ⊢ ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
83	81, 14, 82	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
84	78, 83	syl5eqelr 2706	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
85		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
86	85, 85	metcn 22348	. . . 4 ⊢ ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈) ∧ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈)) → (𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))) ↔ (𝐼:𝑈⟶𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))))
87	84, 84, 86	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))) ↔ (𝐼:𝑈⟶𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))))
88	9, 74, 87	mpbir2and 957	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))))
89		nrginvrcn.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
90	89, 13, 79	mstopn 22257	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
91	24, 25, 90	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
92	91	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐽 ↾t 𝑈) = ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈))
93	78	eqcomi 2631	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈))
94		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
95	93, 94, 85	metrest 22329	. . . . 5 ⊢ ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
96	81, 14, 95	sylancl 694	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
97	92, 96	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐽 ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
98	97, 97	oveq12d 6668	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)) = ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))))
99	88, 98	eleqtrrd 2704	1 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ifcif 4086   class class class wbr 4653   × cxp 5112   ↾ cres 5116  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   / cdiv 10684  2c2 11070  ℝ⁺crp 11832  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  distcds 15950   ↾_t crest 16081  TopOpenctopn 16082  0_gc0g 16100  Grpcgrp 17422  mulGrpcmgp 18489  1_rcur 18501  Ringcrg 18547  Unitcui 18639  inv_rcinvr 18671  NzRingcnzr 19257  ∞Metcxmt 19731  MetOpencmopn 19736   Cn ccn 21028  ∞MetSpcxme 22122  MetSpcmt 22123  normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382  NrmRingcnrg 22384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-xrs 16162  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-abv 18817  df-nzr 19258  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390

This theorem is referenced by:  nrgtdrg  22497