Theorem numclwwlk3lem 27241

Description: Lemma for numclwwlk3 27243. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 1-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwwlk.q	⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
numclwwlk.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
numclwwlk.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk3lem	⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐶𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑄(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		eluz2nn 11726	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		numclwwlk.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
4	3	numclwwlkovf 27213	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝐹𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
5	1, 2, 4	syl2an 494	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐹𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
6	5	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}))
7		pm4.42 1004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
8		nne 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
9	8	anbi2i 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ↔ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
10	9	orbi2i 541	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))) ↔ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
11	7, 10	bitri 264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))))
13	12	rabbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))})
14		unrab 3898	. . . . 5 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))}
15	13, 14	syl6eqr 2674	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}))
16	15	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (#‘({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
17		numclwwlk.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
18	17	fusgrvtxfi 26211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑉 ∈ Fin)
20	17, 19	syl5eqelr 2706	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
21		clwwlksnfi 26913	. . . . . 6 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
23		rabfi 8185	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∈ Fin)
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∈ Fin)
25		rabfi 8185	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))} ∈ Fin)
26	22, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))} ∈ Fin)
27		inrab 3899	. . . . 5 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))}
28		neneq 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0) → ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) → ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
30	29	intnand 962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) → ¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
31	30	imori 429	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
32		ianor 509	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) ↔ (¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
33	31, 32	mpbir 221	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
35	34	ralrimiva 2966	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
36		rabeq0 3957	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
37	35, 36	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))} = ∅)
38	27, 37	syl5eq 2668	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}) = ∅)
39		hashun 13171	. . . 4 ⊢ (({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∈ Fin ∧ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))} ∈ Fin ∧ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}) = ∅) → (#‘({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})) = ((#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}) + (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
40	24, 26, 38, 39	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})) = ((#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}) + (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
41	6, 16, 40	3eqtrd 2660	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}) + (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
42		numclwwlk.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
43		numclwwlk.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
44	17, 42, 3, 43	numclwwlkovh 27234	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
45	1, 2, 44	syl2an 494	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
46	45	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘(𝑋𝐻𝑁)) = (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
47		numclwwlk.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
48	47	numclwwlkovg 27220	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
49	48	adantll 750	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
50	49	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘(𝑋𝐶𝑁)) = (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}))
51	46, 50	oveq12d 6668	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐶𝑁))) = ((#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}) + (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
52	41, 51	eqtr4d 2659	1 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐶𝑁))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  {crab 2916   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573  ∅c0 3915  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  Fincfn 7955  0cc0 9936   + caddc 9939   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  ℤ_≥cuz 11687  #chash 13117   lastS clsw 13292  Vtxcvtx 25874   FinUSGraph cfusgr 26208   WWalksN cwwlksn 26718   ClWWalksN cclwwlksn 26876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-fusgr 26209  df-clwwlks 26877  df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by:  numclwwlk3OLD  27242  numclwwlk3  27243