Theorem numclwwlk4 27244

Description: The total number of closed walks in a finite simple graph is the sum of the numbers of closed walks starting at each of its vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwwlk3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwwlk3.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk4	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (#‘(𝑥𝐹𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑥,𝐺,𝑛,𝑣,𝑤   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem numclwwlk4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrusgr 26214	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph )
2		nnnn0 11299	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		numclwwlk3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	clwwlksnun 26974	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
5	1, 2, 4	syl2an 494	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
6	5	fveq2d 6195	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = (#‘∪ 𝑥 ∈ 𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}))
7	3	fusgrvtxfi 26211	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
8	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ Fin)
9		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10	9	fusgrvtxfi 26211	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
11	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
12		clwwlksnfi 26913	. . . . . 6 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
14	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
15		rabfi 8185	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∈ Fin)
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∈ Fin)
17		clwwlksndisj 26973	. . . 4 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Disj 𝑥 ∈ 𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
19	8, 16, 18	hashiun 14554	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘∪ 𝑥 ∈ 𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}))
20		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
21	20	anim1i 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
22	21	ancomd 467	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
23		numclwwlk3.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
24	23	numclwwlkovf 27213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥𝐹𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
25	22, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥𝐹𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
26	25	eqcomd 2628	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} = (𝑥𝐹𝑁))
27	26	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}) = (#‘(𝑥𝐹𝑁)))
28	27	sumeq2dv 14433	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ𝑥 ∈ 𝑉 (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (#‘(𝑥𝐹𝑁)))
29	6, 19, 28	3eqtrd 2660	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (#‘(𝑥𝐹𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916  ∪ ciun 4520  Disj wdisj 4620  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  Fincfn 7955  0cc0 9936  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  #chash 13117  Σcsu 14416  Vtxcvtx 25874   USGraph cusgr 26044   FinUSGraph cfusgr 26208   ClWWalksN cclwwlksn 26876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-edg 25940  df-umgr 25978  df-usgr 26046  df-fusgr 26209  df-clwwlks 26877  df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by:  numclwwlk6  27248