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Theorem pc2dvds 15583

Description: A characterization of divisibility in terms of prime count. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pc2dvds	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐵,𝑝

**Proof of Theorem pc2dvds**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcdvdstr 15580	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
2	1	ancoms 469	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
3	2	ralrimiva 2966	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
4	3	3expia 1267	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
5		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 0))
6	5	breq1d 4663	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
7	6	ralbidv 2986	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
8		breq1 4656	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 𝐵))
9	7, 8	imbi12d 334	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 0 ∥ 𝐵)))
10		gcddvds 15225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
11	10	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
12		gcdcl 15228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ₀)
13	12	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
14		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
15		dvdsabsb 15001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴)))
16	13, 14, 15	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴)))
17	11, 16	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴))
18	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴))
19		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
20	19	necon3ai 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
21		gcdn0cl 15224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
22	20, 21	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
23	22	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
24	22	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
25		nnabscl 14065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
26	25	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
28		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
29	23, 24, 27, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
30	18, 29	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
31		nnre 11027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
32		nngt0 11049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → 0 < (abs‘𝐴))
33	31, 32	jca 554	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴)))
34		nnre 11027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ)
35		nngt0 11049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → 0 < (𝐴 gcd 𝐵))
36	34, 35	jca 554	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 gcd 𝐵)))
37		divgt0 10891	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 gcd 𝐵))) → 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
38	33, 36, 37	syl2an 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) → 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
39	26, 22, 38	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
40		elnnz 11387	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ↔ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))))
41	30, 39, 40	sylanbrc 698	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
42		elnn1uz2 11765	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ↔ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ∨ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2)))
43	41, 42	sylib 208	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ∨ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2)))
44	10	simprd 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
45	44	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
46		breq1 4656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
47	45, 46	syl5ibcom 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴) → (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
48	26	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
49	22	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
50		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
51	48, 49, 50, 24	divmuld 10823	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) · 1) = (abs‘𝐴)))
52	49	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) · 1) = (𝐴 gcd 𝐵))
53	52	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐴 gcd 𝐵) · 1) = (abs‘𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴)))
54	51, 53	bitrd 268	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴)))
55		absdvdsb 15000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
56	55	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
57	47, 54, 56	3imtr4d 283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 → 𝐴 ∥ 𝐵))
58		exprmfct 15416	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
59		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝑝 ∈ ℙ)
60	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
61	60	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
62	60	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
63	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
64		pcdiv 15557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
65	59, 61, 62, 63, 64	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
66		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
67		zq 11794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℚ)
69		pcabs 15579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) = (𝑝 pCnt 𝐴))
70	59, 68, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) = (𝑝 pCnt 𝐴))
71	70	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
72	65, 71	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
73		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
74	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
75		pcelnn 15574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))))
76	59, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))))
77	73, 76	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ)
78	72, 77	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ)
79	59, 63	pccld 15555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ₀)
80	79	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
81		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐴 ≠ 0)
82		pczcl 15553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀)
83	59, 66, 81, 82	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀)
84	83	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
85		znnsub 11423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ))
86	80, 84, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ))
87	78, 86	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴))
88	79	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℝ)
89	83	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
90	88, 89	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
91	87, 90	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)))
92		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
93		nprmdvds1 15418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
94	93	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
95		gcdid0 15241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
96	66, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
97	96	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)))
98	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
99	98, 62	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
100	97, 99	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) = 1)
101	100	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) ↔ 𝑝 ∥ 1))
102	94, 101	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)))
103		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐴 gcd 0))
104	103	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 = 0 → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)))
105	104	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0))))
106	73, 105	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝐵 = 0 → 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0))))
107	106	necon3bd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (¬ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) → 𝐵 ≠ 0))
108	102, 107	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐵 ≠ 0)
109		pczcl 15553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ₀)
110	59, 92, 108, 109	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ₀)
111	110	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
112		lemin 12023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
113	89, 89, 111, 112	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
114		pcgcd 15582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)))
115	59, 66, 92, 114	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)))
116	115	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵))))
117	89	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
118	117	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
119	113, 116, 118	3bitr4rd 301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
120	91, 119	mtbird 315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
121	120	expr 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) → ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
122	121	reximdva 3017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
123		rexnal 2995	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
124	122, 123	syl6ib 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
125	58, 124	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2) → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
126	57, 125	orim12d 883	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ∨ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ∨ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
127	43, 126	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∥ 𝐵 ∨ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
128	127	ord 392	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ 𝐴 ∥ 𝐵 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
129	128	con4d 114	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵))
130		2prm 15405	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
131	130	ne0ii 3923	. . . . 5 ⊢ ℙ ≠ ∅
132		r19.2z 4060	. . . . 5 ⊢ ((ℙ ≠ ∅ ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
133	131, 132	mpan 706	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
134		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
135		zq 11794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
136	135	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℚ)
137		pcxcl 15565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ^*)
138	134, 136, 137	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ^*)
139		pnfge 11964	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ^* → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞)
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞)
141	140	biantrurd 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (+∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
142		pc0 15559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 pCnt 0) = +∞)
143	142	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 0) = +∞)
144	143	breq1d 4663	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
145		pnfxr 10092	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
146		xrletri3 11985	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
147	138, 145, 146	sylancl 694	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
148	141, 144, 147	3bitr4d 300	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) = +∞))
149		pnfnre 10081	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∉ ℝ
150	149	neli 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
151		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
152	150, 151	mtbiri 317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ → ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
153	109	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
154	153	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
155	154	an4s 869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
156	155	expr 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 ≠ 0 → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ))
157	156	necon1bd 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ → 𝐵 = 0))
158	152, 157	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ → 𝐵 = 0))
159	148, 158	sylbid 230	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐵 = 0))
160	159	rexlimdva 3031	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐵 = 0))
161		0dvds 15002	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
162	161	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
163	160, 162	sylibrd 249	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 0 ∥ 𝐵))
164	133, 163	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 0 ∥ 𝐵))
165	9, 129, 164	pm2.61ne 2879	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵))
166	4, 165	impbid 202	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∨ wo 383 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 ∃wrex 2913 ∅c0 3915 ifcif 4086 class class class wbr 4653 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 · cmul 9941 +∞cpnf 10071 ℝ^*cxr 10073 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 / cdiv 10684 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ℤ_≥cuz 11687 ℚcq 11788 abscabs 13974 ∥ cdvds 14983 gcd cgcd 15216 ℙcprime 15385 pCnt cpc 15541

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542

This theorem is referenced by: pc11 15584 pcz 15585 pcprmpw2 15586 pockthg 15610 pgpfi 18020 fislw 18040 gexexlem 18255 ablfac1c 18470 sqff1o 24908 chtublem 24936 bposlem6 25014

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