Theorem prmcyg 18295

Description: A group with prime order is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prmcyg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem prmcyg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nprm 15392	. . . 4 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
2		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)})
3		cygctb.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	3, 4	grpidcl 17450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
6	5	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
7	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
8	2, 7	eqssd 3620	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
9	8	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → (#‘𝐵) = (#‘{(0g‘𝐺)}))
10		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
11		hashsng 13159	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (#‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (#‘{(0g‘𝐺)}) = 1
13	9, 12	syl6eq 2672	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → (#‘𝐵) = 1)
14		simplr 792	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → (#‘𝐵) ∈ ℙ)
15	13, 14	eqeltrrd 2702	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → 1 ∈ ℙ)
16	15	ex 450	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → (𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)} → 1 ∈ ℙ))
17	1, 16	mtoi 190	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → ¬ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)})
18		nss 3663	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)} ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
19	17, 18	sylib 208	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
20		eqid 2622	. . 3 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
21		simpll 790	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝐺 ∈ Grp)
22		simprl 794	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simprr 796	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
24	20, 4, 3	odeq1 17977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺)))
25	21, 22, 24	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺)))
26		velsn 4193	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺))
27	25, 26	syl6bbr 278	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
28	23, 27	mtbird 315	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)
29		prmnn 15388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐵) ∈ ℙ → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
30	29	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
31	30	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
32		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
33	3, 32	eqeltri 2697	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
34		hashclb 13149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
36	31, 35	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝐵 ∈ Fin)
37	3, 20	oddvds2 17983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵))
38	21, 36, 22, 37	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵))
39		simplr 792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (#‘𝐵) ∈ ℙ)
40	3, 20	odcl2 17982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
41	21, 36, 22, 40	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
42		dvdsprime 15400	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝐵) ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
43	39, 41, 42	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
44	38, 43	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
45	44	ord 392	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
46	28, 45	mt3d 140	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵))
47	3, 20, 21, 22, 46	iscygodd 18290	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝐺 ∈ CycGrp)
48	19, 47	exlimddv 1863	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {csn 4177   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  Fincfn 7955  1c1 9937  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  #chash 13117   ∥ cdvds 14983  ℙcprime 15385  Basecbs 15857  0_gc0g 16100  Grpcgrp 17422  odcod 17944  CycGrpccyg 18279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-od 17948  df-cyg 18280

This theorem is referenced by:  lt6abl  18296