Theorem repr0 30689

Description: There is exactly one representation with no elements (an empty sum), only for 𝑀 = 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
repr0	⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {∅}, ∅))

Proof of Theorem repr0

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		reprval.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		0nn0 11307	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
5	1, 2, 4	reprval 30688	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
6		fzo0 12492	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^0) = ∅
7	6	sumeq1i 14428	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = Σ𝑎 ∈ ∅ (𝑐‘𝑎)
8		sum0 14452	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑎 ∈ ∅ (𝑐‘𝑎) = 0
9	7, 8	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 0
10	9	eqeq1i 2627	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ∅ → (Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀))
12		0ex 4790	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
13	12	snid 4208	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅}
14		nnex 11026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
16	15, 1	ssexd 4805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
17		mapdm0 7872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑𝑚 ∅) = {∅})
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑𝑚 ∅) = {∅})
19	13, 18	syl5eleqr 2708	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅))
20	6	oveq2i 6661	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0)) = (𝐴 ↑𝑚 ∅)
21	19, 20	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0)))
22	21	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → ∅ ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0)))
23		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
24	23	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → 0 = 𝑀)
25	20, 18	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑𝑚 (0..^0)) = {∅})
26	25	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0)) ↔ 𝑐 ∈ {∅}))
27	26	biimpa 501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0))) → 𝑐 ∈ {∅})
28		elsni 4194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ {∅} → 𝑐 = ∅)
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0))) → 𝑐 = ∅)
30	29	ad4ant13 1292	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀) → 𝑐 = ∅)
31	11, 22, 24, 30	rabeqsnd 29342	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = {∅})
32	31	eqcomd 2628	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → {∅} = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
33	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0))) → Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 0)
34		simplr 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0))) → ¬ 𝑀 = 0)
35	34	neqned 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0))) → 𝑀 ≠ 0)
36	35	necomd 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0))) → 0 ≠ 𝑀)
37	33, 36	eqnetrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0))) → Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑀)
38	37	neneqd 2799	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
39	38	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
40		rabeq0 3957	. . . . 5 ⊢ ({𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
41	39, 40	sylibr 224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅)
42	41	eqcomd 2628	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → ∅ = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
43	32, 42	ifeqda 4121	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 = 0, {∅}, ∅) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
44	5, 43	eqtr4d 2659	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {∅}, ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  {crab 2916  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ifcif 4086  {csn 4177  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  0cc0 9936  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ..^cfzo 12465  Σcsu 14416  reprcrepr 30686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-repr 30687

This theorem is referenced by:  breprexp  30711