Theorem sum0 14452

Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sum0	⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Proof of Theorem sum0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1z 11407	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
4		0ss 3972	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ ℕ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ⊆ ℕ)
6		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7	6, 1	syl6eleq 2711	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
8		c0ex 10034	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fvconst2 6469	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
11		noel 3919	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
12	11	iffalsei 4096	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0) = 0
13	10, 12	syl6eqr 2674	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0))
14	11	pm2.21i 116	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	1, 3, 5, 13, 15	zsum 14449	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))))
17	16	trud 1493	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})))
18		fclim 14284	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
19		ffun 6048	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
21		serclim0 14308	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0)
22	2, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0
23		funbrfv 6234	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))) = 0))
24	20, 22, 23	mp2 9	. 2 ⊢ ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))) = 0
25	17, 24	eqtri 2644	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1483  ⊤wtru 1484   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ifcif 4086  {csn 4177   class class class wbr 4653   × cxp 5112  dom cdm 5114  Fun wfun 5882  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  ℕcn 11020  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  seqcseq 12801   ⇝ cli 14215  Σcsu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  sumz  14453  fsumf1o  14454  fsumcllem  14463  fsumadd  14470  fsum2d  14502  fsumrev2  14514  fsummulc2  14516  fsumconst  14522  modfsummod  14526  fsumabs  14533  telfsumo  14534  fsumparts  14538  fsumrelem  14539  fsumrlim  14543  fsumo1  14544  fsumiun  14553  isumsplit  14572  arisum  14592  arisum2  14593  bpoly0  14781  sumeven  15110  sumodd  15111  bitsinv1  15164  bitsinvp1  15171  prmreclem4  15623  prmreclem5  15624  gsumfsum  19813  fsumcn  22673  ovolfiniun  23269  volfiniun  23315  itg10  23455  itgfsum  23593  dvmptfsum  23738  abelthlem6  24190  logfac  24347  log2ublem3  24675  harmonicbnd3  24734  cht1  24891  dchrisumlem1  25178  dchrisumlem3  25180  logdivbnd  25245  pntrsumbnd2  25256  pntrlog2bndlem4  25269  finsumvtxdg2size  26446  esumpcvgval  30140  signsvf0  30657  signsvf1  30658  repr0  30689  breprexplemc  30710  tgoldbachgtda  30739  mettrifi  33553  rrncmslem  33631  mccl  39830  dvmptfprod  40160  dvnprodlem3  40163  sge0rnn0  40585  sge00  40593  sge0sn  40596  pwdif  41501