Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eftl.5 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
2 | | eftl.4 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ) |
3 | 2 | nnnn0d 11351 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈
ℕ0) |
4 | | eftl.1 |
. . . . 5
⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) |
5 | 4 | eftlcl 14837 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)
→ Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
6 | 1, 3, 5 | syl2anc 693 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
7 | 6 | abscld 14175 |
. 2
⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ) |
8 | 1 | abscld 14175 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈
ℝ) |
9 | | eftl.2 |
. . . 4
⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦
(((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) |
10 | 9 | reeftlcl 14838 |
. . 3
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℝ ∧ 𝑀
∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) |
11 | 8, 3, 10 | syl2anc 693 |
. 2
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) |
12 | 8, 3 | reexpcld 13025 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ) |
13 | | peano2nn0 11333 |
. . . . . 6
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ (𝑀 + 1) ∈
ℕ0) |
14 | 3, 13 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈
ℕ0) |
15 | 14 | nn0red 11352 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ) |
16 | | faccl 13070 |
. . . . . 6
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ (!‘𝑀) ∈
ℕ) |
17 | 3, 16 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ) |
18 | 17, 2 | nnmulcld 11068 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((!‘𝑀) · 𝑀) ∈ ℕ) |
19 | 15, 18 | nndivred 11069 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)) ∈ ℝ) |
20 | 12, 19 | remulcld 10070 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ ℝ) |
21 | | eqid 2622 |
. . 3
⊢
(ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀) |
22 | 2 | nnzd 11481 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) |
23 | | eqidd 2623 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)) |
24 | | eluznn0 11757 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
25 | 3, 24 | sylan 488 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
26 | 4 | eftval 14807 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) |
27 | 26 | adantl 482 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) |
28 | | eftcl 14804 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ) |
29 | 1, 28 | sylan 488 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ) |
30 | 27, 29 | eqeltrd 2701 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
31 | 25, 30 | syldan 487 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
32 | 4 | eftlcvg 14836 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)
→ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝
) |
33 | 1, 3, 32 | syl2anc 693 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) |
34 | 21, 22, 23, 31, 33 | isumclim2 14489 |
. . 3
⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) |
35 | | eqidd 2623 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)) |
36 | 9 | eftval 14807 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ (𝐺‘𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘))) |
37 | 36 | adantl 482 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘))) |
38 | | reeftcl 14805 |
. . . . . . . 8
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℝ ∧ 𝑘
∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ) |
39 | 8, 38 | sylan 488 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) →
(((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ) |
40 | 37, 39 | eqeltrd 2701 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) |
41 | 25, 40 | syldan 487 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) |
42 | 41 | recnd 10068 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) |
43 | 8 | recnd 10068 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈
ℂ) |
44 | 9 | eftlcvg 14836 |
. . . . 5
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℂ ∧ 𝑀
∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) |
45 | 43, 3, 44 | syl2anc 693 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) |
46 | 21, 22, 35, 42, 45 | isumclim2 14489 |
. . 3
⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)) |
47 | | eftabs 14806 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘))) |
48 | 1, 47 | sylan 488 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) →
(abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘))) |
49 | 27 | fveq2d 6195 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) →
(abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))) |
50 | 48, 49, 37 | 3eqtr4rd 2667 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘))) |
51 | 25, 50 | syldan 487 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘))) |
52 | 21, 34, 46, 22, 31, 51 | iserabs 14547 |
. 2
⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)) |
53 | | nn0uz 11722 |
. . . 4
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
54 | | 0zd 11389 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℤ) |
55 | 2 | nncnd 11036 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ) |
56 | | nn0cn 11302 |
. . . . 5
⊢ (𝑗 ∈ ℕ0
→ 𝑗 ∈
ℂ) |
57 | | nn0ex 11298 |
. . . . . . . 8
⊢
ℕ0 ∈ V |
58 | 57 | mptex 6486 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V |
59 | 9, 58 | eqeltri 2697 |
. . . . . 6
⊢ 𝐺 ∈ V |
60 | 59 | shftval4 13817 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗))) |
61 | 55, 56, 60 | syl2an 494 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗))) |
62 | | nn0addcl 11328 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑗 ∈
ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈
ℕ0) |
63 | 3, 62 | sylan 488 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈
ℕ0) |
64 | 9 | eftval 14807 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0 → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗)))) |
65 | 63, 64 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗)))) |
66 | 8 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐴) ∈
ℝ) |
67 | | reeftcl 14805 |
. . . . . 6
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℝ ∧ (𝑀 +
𝑗) ∈
ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ) |
68 | 66, 63, 67 | syl2anc 693 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ) |
69 | 65, 68 | eqeltrd 2701 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ) |
70 | | oveq2 6658 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) |
71 | 70 | oveq2d 6666 |
. . . . . 6
⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) |
72 | | eftl.3 |
. . . . . 6
⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))) |
73 | | ovex 6678 |
. . . . . 6
⊢
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ V |
74 | 71, 72, 73 | fvmpt 6282 |
. . . . 5
⊢ (𝑗 ∈ ℕ0
→ (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) |
75 | 74 | adantl 482 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) |
76 | 12, 17 | nndivred 11069 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ) |
77 | 76 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ) |
78 | 2 | peano2nnd 11037 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ) |
79 | 78 | nnrecred 11066 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ) |
80 | | reexpcl 12877 |
. . . . . 6
⊢ (((1 /
(𝑀 + 1)) ∈ ℝ
∧ 𝑗 ∈
ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ) |
81 | 79, 80 | sylan 488 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 /
(𝑀 + 1))↑𝑗) ∈
ℝ) |
82 | 77, 81 | remulcld 10070 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ) |
83 | 66, 63 | reexpcld 13025 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ) |
84 | 12 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈
ℝ) |
85 | | faccl 13070 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0 →
(!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈
ℕ) |
86 | 63, 85 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈
ℕ) |
87 | 86 | nnred 11035 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈
ℝ) |
88 | 87, 82 | remulcld 10070 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) ∈ ℝ) |
89 | 3 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈
ℕ0) |
90 | | uzid 11702 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈
(ℤ≥‘𝑀)) |
91 | 22, 90 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
92 | | uzaddcl 11744 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑀 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
93 | 91, 92 | sylan 488 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
94 | 1 | absge0d 14183 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴)) |
95 | 94 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤
(abs‘𝐴)) |
96 | | eftl.6 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1) |
97 | 96 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐴) ≤
1) |
98 | 66, 89, 93, 95, 97 | leexp2rd 13042 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)) |
99 | 17 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(!‘𝑀) ∈
ℕ) |
100 | | nnexpcl 12873 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0)
→ ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈
ℕ) |
101 | 78, 100 | sylan 488 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ) |
102 | 99, 101 | nnmulcld 11068 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘𝑀) ·
((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈
ℕ) |
103 | 102 | nnred 11035 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘𝑀) ·
((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈
ℝ) |
104 | 8, 3, 94 | expge0d 13026 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)) |
105 | 12, 104 | jca 554 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
((abs‘𝐴)↑𝑀))) |
106 | 105 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
((abs‘𝐴)↑𝑀))) |
107 | | faclbnd6 13086 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑗 ∈
ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗))) |
108 | 3, 107 | sylan 488 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘𝑀) ·
((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗))) |
109 | | lemul1a 10877 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((!‘𝑀)
· ((𝑀 +
1)↑𝑗)) ∈ ℝ
∧ (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧
(((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
((abs‘𝐴)↑𝑀))) ∧ ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗))) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀))) |
110 | 103, 87, 106, 108, 109 | syl31anc 1329 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((!‘𝑀) ·
((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀))) |
111 | 87, 84 | remulcld 10070 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ∈ ℝ) |
112 | 102 | nnrpd 11870 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘𝑀) ·
((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈
ℝ+) |
113 | 84, 111, 112 | lemuldiv2d 11922 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((((!‘𝑀) ·
((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))) |
114 | 110, 113 | mpbid 222 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) |
115 | 86 | nncnd 11036 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈
ℂ) |
116 | 12 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ) |
117 | 116 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈
ℂ) |
118 | 102 | nncnd 11036 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘𝑀) ·
((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈
ℂ) |
119 | 102 | nnne0d 11065 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘𝑀) ·
((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≠ 0) |
120 | 115, 117,
118, 119 | divassd 10836 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))) |
121 | 78 | nncnd 11036 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ) |
122 | 121 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈
ℂ) |
123 | 78 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈
ℕ) |
124 | 123 | nnne0d 11065 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ≠ 0) |
125 | | nn0z 11400 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 ∈ ℕ0
→ 𝑗 ∈
ℤ) |
126 | 125 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈
ℤ) |
127 | 122, 124,
126 | exprecd 13016 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 /
(𝑀 + 1))↑𝑗) = (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))) |
128 | 127 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) |
129 | 76 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ) |
130 | 129 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ) |
131 | 101 | nncnd 11036 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℂ) |
132 | 101 | nnne0d 11065 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ≠ 0) |
133 | 130, 131,
132 | divrecd 10804 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) |
134 | 17 | nncnd 11036 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℂ) |
135 | 134 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(!‘𝑀) ∈
ℂ) |
136 | | facne0 13073 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ (!‘𝑀) ≠
0) |
137 | 3, 136 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ≠ 0) |
138 | 137 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(!‘𝑀) ≠
0) |
139 | 117, 135,
131, 138, 132 | divdiv1d 10832 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) |
140 | 128, 133,
139 | 3eqtr2rd 2663 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) |
141 | 140 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))) |
142 | 120, 141 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))) |
143 | 114, 142 | breqtrd 4679 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))) |
144 | 83, 84, 88, 98, 143 | letrd 10194 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))) |
145 | 86 | nngt0d 11064 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 <
(!‘(𝑀 + 𝑗))) |
146 | | ledivmul 10899 |
. . . . . . 7
⊢
((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ 0 <
(!‘(𝑀 + 𝑗)))) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))) |
147 | 83, 82, 87, 145, 146 | syl112anc 1330 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))) |
148 | 144, 147 | mpbird 247 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
(((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) |
149 | 65, 148 | eqbrtrd 4675 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) |
150 | | 0z 11388 |
. . . . . 6
⊢ 0 ∈
ℤ |
151 | 22 | znegcld 11484 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℤ) |
152 | 59 | seqshft 13825 |
. . . . . 6
⊢ ((0
∈ ℤ ∧ -𝑀
∈ ℤ) → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) = (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀)) |
153 | 150, 151,
152 | sylancr 695 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) = (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀)) |
154 | | 0cn 10032 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 0 ∈
ℂ |
155 | | subneg 10330 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((0
∈ ℂ ∧ 𝑀
∈ ℂ) → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀)) |
156 | 154, 155 | mpan 706 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0
− -𝑀) = (0 + 𝑀)) |
157 | | addid2 10219 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0 +
𝑀) = 𝑀) |
158 | 156, 157 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0
− -𝑀) = 𝑀) |
159 | 55, 158 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (0 − -𝑀) = 𝑀) |
160 | 159 | seqeq1d 12807 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) = seq𝑀( + , 𝐺)) |
161 | 160, 46 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)) |
162 | | seqex 12803 |
. . . . . . . 8
⊢ seq(0
− -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V |
163 | | climshft 14307 |
. . . . . . . 8
⊢ ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ seq(0
− -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V) → ((seq(0
− -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))) |
164 | 151, 162,
163 | sylancl 694 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))) |
165 | 161, 164 | mpbird 247 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)) |
166 | | ovex 6678 |
. . . . . . 7
⊢ (seq(0
− -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V |
167 | | sumex 14418 |
. . . . . . 7
⊢
Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ V |
168 | 166, 167 | breldm 5329 |
. . . . . 6
⊢ ((seq(0
− -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ ) |
169 | 165, 168 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ ) |
170 | 153, 169 | eqeltrd 2701 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) ∈ dom ⇝ ) |
171 | 2 | nnge1d 11063 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀) |
172 | | 1nn 11031 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ∈
ℕ |
173 | | nnleltp1 11432 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((1
∈ ℕ ∧ 𝑀
∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1))) |
174 | 172, 2, 173 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1))) |
175 | 171, 174 | mpbid 222 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 1 < (𝑀 + 1)) |
176 | 14 | nn0ge0d 11354 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 + 1)) |
177 | 15, 176 | absidd 14161 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑀 + 1)) = (𝑀 + 1)) |
178 | 175, 177 | breqtrrd 4681 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘(𝑀 + 1))) |
179 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
↦ ((1 / (𝑀 +
1))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0
↦ ((1 / (𝑀 +
1))↑𝑛)) |
180 | | ovex 6678 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((1 /
(𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ V |
181 | 70, 179, 180 | fvmpt 6282 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑗 ∈ ℕ0
→ ((𝑛 ∈
ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) |
182 | 181 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0
↦ ((1 / (𝑀 +
1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) |
183 | 121, 178,
182 | georeclim 14603 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0
↦ ((1 / (𝑀 +
1))↑𝑛))) ⇝
((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) −
1))) |
184 | 81 | recnd 10068 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 /
(𝑀 + 1))↑𝑗) ∈
ℂ) |
185 | 182, 184 | eqeltrd 2701 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0
↦ ((1 / (𝑀 +
1))↑𝑛))‘𝑗) ∈
ℂ) |
186 | 182 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 /
(𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) |
187 | 75, 186 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 /
(𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗))) |
188 | 53, 54, 129, 183, 185, 187 | isermulc2 14388 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)))) |
189 | | ax-1cn 9994 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ∈
ℂ |
190 | | pncan 10287 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → ((𝑀 + 1)
− 1) = 𝑀) |
191 | 55, 189, 190 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀) |
192 | 191 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)) = ((𝑀 + 1) / 𝑀)) |
193 | 192 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀))) |
194 | 15, 2 | nndivred 11069 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℝ) |
195 | 194 | recnd 10068 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℂ) |
196 | 116, 195,
134, 137 | div23d 10838 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀))) |
197 | 193, 196 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀))) |
198 | 116, 195,
134, 137 | divassd 10836 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)))) |
199 | 2 | nnne0d 11065 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0) |
200 | 121, 55, 134, 199, 137 | divdiv1d 10832 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀)))) |
201 | 55, 134 | mulcomd 10061 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑀 · (!‘𝑀)) = ((!‘𝑀) · 𝑀)) |
202 | 201 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) |
203 | 200, 202 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) |
204 | 203 | oveq2d 6666 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) |
205 | 197, 198,
204 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) |
206 | 188, 205 | breqtrd 4679 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) |
207 | | seqex 12803 |
. . . . . 6
⊢ seq0( + ,
𝐻) ∈
V |
208 | | ovex 6678 |
. . . . . 6
⊢
(((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ V |
209 | 207, 208 | breldm 5329 |
. . . . 5
⊢ (seq0( +
, 𝐻) ⇝
(((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ) |
210 | 206, 209 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝
) |
211 | 53, 54, 61, 69, 75, 82, 149, 170, 210 | isumle 14576 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) |
212 | | eqid 2622 |
. . . . 5
⊢
(ℤ≥‘(0 + 𝑀)) = (ℤ≥‘(0 +
𝑀)) |
213 | | fveq2 6191 |
. . . . 5
⊢ (𝑘 = (𝑀 + 𝑗) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗))) |
214 | 55 | addid2d 10237 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀) |
215 | 214 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(ℤ≥‘(0 + 𝑀)) = (ℤ≥‘𝑀)) |
216 | 215 | eleq2d 2687 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
𝑀)) ↔ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀))) |
217 | 216 | biimpa 501 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
𝑀))) → 𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀)) |
218 | 217, 42 | syldan 487 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
𝑀))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) |
219 | 53, 212, 213, 22, 54, 218 | isumshft 14571 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
𝑀))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗))) |
220 | 215 | sumeq1d 14431 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
𝑀))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)) |
221 | 219, 220 | eqtr3d 2658 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)) |
222 | 82 | recnd 10068 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) →
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℂ) |
223 | 53, 54, 75, 222, 206 | isumclim 14488 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0
((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) |
224 | 211, 221,
223 | 3brtr3d 4684 |
. 2
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) |
225 | 7, 11, 20, 52, 224 | letrd 10194 |
1
⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))) |