Theorem seqz 12849

Description: If the operation + has an absorbing element 𝑍 (a.k.a. zero element), then any sequence containing a 𝑍 evaluates to 𝑍. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqhomo.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqhomo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqz.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
seqz.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
seqz.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
seqz.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
seqz.7	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
seqz	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seqz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqz.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzuz 12338	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzelz 11697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
6		seq1 12814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
8		seqz.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝑍)
9	7, 8	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
10		seqeq1 12804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → seq𝐾( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
11	10	fveq1d 6193	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾))
12	11	eqeq1d 2624	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → ((seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
13	9, 12	syl5ibcom 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
14		eluzel2 11692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
15	3, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16		seqm1 12818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)))
17	15, 16	sylan 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)))
18	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝐾) = 𝑍)
19	18	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍))
20		eluzp1m1 11711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21	15, 20	sylan 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22		fzssp1 12384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝐾 − 1) + 1))
23	5	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
24		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
25		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
26	23, 24, 25	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
27	26	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝐾 − 1) + 1)) = (𝑀...𝐾))
28	22, 27	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝐾))
29		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
30	1, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
31		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))
33	28, 32	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
35	34	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
36		seqhomo.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
37	36	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
38	35, 37	syldan 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
39		seqhomo.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
40	39	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
41	21, 38, 40	seqcl 12821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) ∈ 𝑆)
42		seqz.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
43	42	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
44	43	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
45		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) → (𝑥 + 𝑍) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍))
46	45	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) → ((𝑥 + 𝑍) = 𝑍 ↔ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍) = 𝑍))
47	46	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑍) = 𝑍 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍) = 𝑍))
48	41, 44, 47	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍) = 𝑍)
49	19, 48	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)) = 𝑍)
50	17, 49	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
51	50	ex 450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
52		uzp1 11721	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
53	3, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
54	13, 51, 53	mpjaod 396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
55	54, 8	eqtr4d 2659	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
56		eqidd 2623	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
57	3, 55, 30, 56	seqfveq2 12823	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁))
58		fvex 6201	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐾) ∈ V
59	58	elsn 4192	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐾) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹‘𝐾) = 𝑍)
60	8, 59	sylibr 224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ {𝑍})
61		simprl 794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ {𝑍})
62		velsn 4193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑍} ↔ 𝑥 = 𝑍)
63	61, 62	sylib 208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 = 𝑍)
64	63	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑍 + 𝑦))
65		simprr 796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
66		seqz.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
67	66	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
68	67	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
69		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + 𝑦))
70	69	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑍 ↔ (𝑍 + 𝑦) = 𝑍))
71	70	rspcv 3305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑍 → (𝑍 + 𝑦) = 𝑍))
72	65, 68, 71	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑍 + 𝑦) = 𝑍)
73	64, 72	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = 𝑍)
74		ovex 6678	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 + 𝑦) ∈ V
75	74	elsn 4192	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍} ↔ (𝑥 + 𝑦) = 𝑍)
76	73, 75	sylibr 224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍})
77		peano2uz 11741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
78	3, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
79		fzss1 12380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
80	78, 79	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
81	80	sselda 3603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
82	81, 36	syldan 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
83	60, 76, 30, 82	seqcl2 12819	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍})
84		elsni 4194	. . 3 ⊢ ((seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍} → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
85	83, 84	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
86	57, 85	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912   ⊆ wss 3574  {csn 4177  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  1c1 9937   + caddc 9939   − cmin 10266  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  bcval5  13105  elqaalem2  24075  lgsne0  25060