Theorem seqz 12849

Description: If the operation .+ has an absorbing element Z (a.k.a. zero element), then any sequence containing a Z evaluates to Z. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqhomo.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqhomo.2	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seqz.3	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( Z .+ x ) = Z )
seqz.4	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x .+ Z ) = Z )
seqz.5	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
seqz.6	|- ( ph -> N e. V )
seqz.7	|- ( ph -> ( F ` K ) = Z )

Assertion

Ref	Expression
seqz	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = Z )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, K, y   x, .+ , y   x, S, y   x, Z, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem seqz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqz.5	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
2		elfzuz 12338	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
4		eluzelz 11697	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ZZ )
6		seq1 12814	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( seq K ( .+ , F ) ` K ) = ( F ` K ) )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` K ) = ( F ` K ) )
8		seqz.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` K ) = Z )
9	7, 8	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` K ) = Z )
10		seqeq1 12804	. . . . . . . 8 |- ( K = M -> seq K ( .+ , F ) = seq M ( .+ , F ) )
11	10	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( K = M -> ( seq K ( .+ , F ) ` K ) = ( seq M ( .+ , F ) ` K ) )
12	11	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( K = M -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` K ) = Z <-> ( seq M ( .+ , F ) ` K ) = Z ) )
13	9, 12	syl5ibcom 235	. . . . 5 |- ( ph -> ( K = M -> ( seq M ( .+ , F ) ` K ) = Z ) )
14		eluzel2 11692	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
15	3, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
16		seqm1 12818	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` K ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( F ` K ) ) )
17	15, 16	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` K ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( F ` K ) ) )
18	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` K ) = Z )
19	18	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( F ` K ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( K - 1 ) ) .+ Z ) )
20		eluzp1m1 11711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
21	15, 20	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
22		fzssp1 12384	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M ... ( K - 1 ) ) C_ ( M ... ( ( K - 1 ) + 1 ) )
23	5	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> K e. CC )
24		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
25		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
26	23, 24, 25	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
27	26	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M ... ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( M ... K ) )
28	22, 27	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M ... ( K - 1 ) ) C_ ( M ... K ) )
29		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
30	1, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
31		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M ... K ) C_ ( M ... N ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M ... K ) C_ ( M ... N ) )
33	28, 32	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M ... ( K - 1 ) ) C_ ( M ... N ) )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M ... ( K - 1 ) ) C_ ( M ... N ) )
35	34	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
36		seqhomo.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
37	36	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
38	35, 37	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
39		seqhomo.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
40	39	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
41	21, 38, 40	seqcl 12821	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( K - 1 ) ) e. S )
42		seqz.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x .+ Z ) = Z )
43	42	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. S ( x .+ Z ) = Z )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> A. x e. S ( x .+ Z ) = Z )
45		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` ( K - 1 ) ) -> ( x .+ Z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( K - 1 ) ) .+ Z ) )
46	45	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` ( K - 1 ) ) -> ( ( x .+ Z ) = Z <-> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( K - 1 ) ) .+ Z ) = Z ) )
47	46	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( K - 1 ) ) e. S -> ( A. x e. S ( x .+ Z ) = Z -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( K - 1 ) ) .+ Z ) = Z ) )
48	41, 44, 47	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( K - 1 ) ) .+ Z ) = Z )
49	19, 48	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( F ` K ) ) = Z )
50	17, 49	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` K ) = Z )
51	50	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` K ) = Z ) )
52		uzp1 11721	. . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K = M \/ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
53	3, 52	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( K = M \/ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
54	13, 51, 53	mpjaod 396	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` K ) = Z )
55	54, 8	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` K ) = ( F ` K ) )
56		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` x ) )
57	3, 55, 30, 56	seqfveq2 12823	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq K ( .+ , F ) ` N ) )
58		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( F ` K ) e. _V
59	58	elsn 4192	. . . . 5 |- ( ( F ` K ) e. { Z } <-> ( F ` K ) = Z )
60	8, 59	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` K ) e. { Z } )
61		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. { Z } /\ y e. S ) ) -> x e. { Z } )
62		velsn 4193	. . . . . . . 8 |- ( x e. { Z } <-> x = Z )
63	61, 62	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. { Z } /\ y e. S ) ) -> x = Z )
64	63	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. { Z } /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( Z .+ y ) )
65		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. { Z } /\ y e. S ) ) -> y e. S )
66		seqz.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( Z .+ x ) = Z )
67	66	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. S ( Z .+ x ) = Z )
68	67	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. { Z } /\ y e. S ) ) -> A. x e. S ( Z .+ x ) = Z )
69		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( Z .+ x ) = ( Z .+ y ) )
70	69	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( Z .+ x ) = Z <-> ( Z .+ y ) = Z ) )
71	70	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( y e. S -> ( A. x e. S ( Z .+ x ) = Z -> ( Z .+ y ) = Z ) )
72	65, 68, 71	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. { Z } /\ y e. S ) ) -> ( Z .+ y ) = Z )
73	64, 72	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. { Z } /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = Z )
74		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( x .+ y ) e. _V
75	74	elsn 4192	. . . . 5 |- ( ( x .+ y ) e. { Z } <-> ( x .+ y ) = Z )
76	73, 75	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. { Z } /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. { Z } )
77		peano2uz 11741	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
78	3, 77	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
79		fzss1 12380	. . . . . . 7 |- ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( K + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
80	78, 79	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
81	80	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
82	81, 36	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
83	60, 76, 30, 82	seqcl2 12819	. . 3 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) e. { Z } )
84		elsni 4194	. . 3 |- ( ( seq K ( .+ , F ) ` N ) e. { Z } -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = Z )
85	83, 84	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = Z )
86	57, 85	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = Z )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  bcval5  13105  elqaalem2  24075  lgsne0  25060