Theorem smfinf 41024

Description: The infimum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (c) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfinf.n	⊢ Ⅎ𝑛𝐹
smfinf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfinf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfinf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfinf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfinf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfinf.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
smfinf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfinf	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfinf

Dummy variables 𝑚 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfinf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		smfinf.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		smfinf.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfinf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5		smfinf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
6		nfcv 2764	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
7		nfcv 2764	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
8		smfinf.x	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
9		nfcv 2764	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
10	8, 9	nffv 6198	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
11	10	nfdm 5367	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑚)
12	7, 11	nfiin 4549	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
13		nfv 1843	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)
14		nfcv 2764	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
15		nfcv 2764	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
16		nfcv 2764	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
17		nfcv 2764	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
18	10, 17	nffv 6198	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
19	15, 16, 18	nfbr 4699	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
20	7, 19	nfral 2945	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
21	14, 20	nfrex 3007	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
22		nfcv 2764	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚dom (𝐹‘𝑛)
23		smfinf.n	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
24		nfcv 2764	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝑚
25	23, 24	nffv 6198	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘𝑚)
26	25	nfdm 5367	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛dom (𝐹‘𝑚)
27		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
28	27	dmeqd 5326	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑚))
29	22, 26, 28	cbviin 4558	. . . . 5 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚))
31		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑤))
32	31	breq2d 4665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
33	32	ralbidv 2986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
34		nfv 1843	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)
35		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑦
36		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ≤
37		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑤
38	25, 37	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
39	35, 36, 38	nfbr 4699	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
40	27	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
41	40	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ↔ 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
42	34, 39, 41	cbvral 3167	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
44	33, 43	bitrd 268	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
45	44	rexbidv 3052	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
46		breq1 4656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
47	46	ralbidv 2986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
48	47	cbvrexv 3172	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
50	45, 49	bitrd 268	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
51	6, 12, 13, 21, 30, 50	cbvrabcsf 3568	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)} = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)}
52	5, 51	eqtri 2644	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑧 ≤ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)}
53		smfinf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
54		nfrab1 3122	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
55	5, 54	nfcxfr 2762	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
56		nfcv 2764	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤𝐷
57		nfcv 2764	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )
58	7, 18	nfmpt 4746	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
59	58	nfrn 5368	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
60		nfcv 2764	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 <
61	59, 14, 60	nfinf 8388	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < )
62	31	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
63		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑛)‘𝑤)
64	63, 38, 40	cbvmpt 4749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
66	62, 65	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
67	66	rneqd 5353	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
68	67	infeq1d 8383	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
69	55, 56, 57, 61, 68	cbvmptf 4748	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
70	53, 69	eqtri 2644	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
71	1, 2, 3, 4, 52, 70	smfinflem 41023	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Ⅎwnfc 2751  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916  ∩ ciin 4521   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ran crn 5115  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  infcinf 8347  ℝcr 9935   < clt 10074   ≤ cle 10075  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-s4 13595  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-salg 40529  df-salgen 40533  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smfinfmpt  41025