Theorem sseqf 30454

Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqval.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
sseqval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3	⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀))))
sseqval.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sseqf	⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0⟶𝑆)

Proof of Theorem sseqf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
2		wrdf 13310	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → 𝑀:(0..^(#‘𝑀))⟶𝑆)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(0..^(#‘𝑀))⟶𝑆)
4		vex 3203	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑤 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ V)
6		fvex 6201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥‘((#‘𝑥) − 1)) ∈ V
7		df-lsw 13300	. . . . . . . . 9 ⊢ lastS = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘((#‘𝑥) − 1)))
8	6, 7	dmmpti 6023	. . . . . . . 8 ⊢ dom lastS = V
9	5, 8	syl6eleqr 2712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ dom lastS )
10		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑤 ≠ ∅))
11		sseqval.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀))))
12		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Word 𝑆 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))) ⊆ Word 𝑆
13	11, 12	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑊 ⊆ Word 𝑆
14	13	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑊 → 𝑤 ∈ Word 𝑆)
15		lswcl 13355	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)
16	14, 15	sylan 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)
17	10, 16	sylbi 207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)
18	17	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)
19	9, 18	jca 554	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → (𝑤 ∈ dom lastS ∧ ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆))
20	19	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆))
21	6, 7	fnmpti 6022	. . . . . 6 ⊢ lastS Fn V
22		fnfun 5988	. . . . . 6 ⊢ ( lastS Fn V → Fun lastS )
23		ffvresb 6394	. . . . . 6 ⊢ (Fun lastS → (( lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)))
24	21, 22, 23	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (( lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆))
25	20, 24	sylibr 224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆)
26		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(#‘𝑀)) = (ℤ≥‘(#‘𝑀))
27		lencl 13324	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 11480	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℤ)
29	1, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑀) ∈ ℤ)
30		ovex 6678	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V
31		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))
32	1, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
34		elnn0uz 11725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
35	33, 34	sylib 208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) → (#‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
36		uztrn 11704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)) ∧ (#‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘0))
37	31, 35, 36	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘0))
38		nn0uz 11722	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
39	37, 38	syl6eleqr 2712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
40		fvconst2g 6467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩))
41	30, 39, 40	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩))
42		sseqval.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
43		sseqval.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
44	43, 1, 11, 42	sseqmw 30453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
45	42, 44	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
46	45	s1cld 13383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆)
47		ccatcl 13359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
48	1, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
49	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V)
50		ccatws1len 13398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆) → (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) = ((#‘𝑀) + 1))
51	1, 45, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) = ((#‘𝑀) + 1))
52		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℤ → (#‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))
53		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)) → ((#‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))
54	29, 52, 53	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))
55	51, 54	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))
56		hashf 13125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
57		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (#:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → # Fn V)
58		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (# Fn V → ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))))
59	56, 57, 58	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))))
60	49, 55, 59	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀))))
61	48, 60	elind 3798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))))
62	61, 11	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
63	62	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
64	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
65	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
66	44	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) → 𝑀 ∈ 𝑊)
67	65, 66	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
68		ccatws1n0 13409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ≠ ∅)
69	64, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ≠ ∅)
70		eldifsn 4317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ≠ ∅))
71	63, 69, 70	sylanbrc 698	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
72	41, 71	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘𝑎) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
73		eqidd 2623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)) = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)))
74		simprl 794	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → 𝑥 = 𝑎)
75	74	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑎))
76	75	s1eqd 13381	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩ = ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)
77	74, 76	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩))
78		vex 3203	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑎 ∈ V
79	78	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ V)
80		vex 3203	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ V
81	80	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑏 ∈ V)
82		ovex 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ V
83	82	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ V)
84	73, 77, 79, 81, 83	ovmpt2d 6788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩))𝑏) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩))
85		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → 𝑎 ∈ 𝑊)
86	85	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ 𝑊)
87	13, 86	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
88	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
89	88, 86	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑆)
90	89	s1cld 13383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆)
91		ccatcl 13359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
92	87, 90, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
93		ccatws1len 13398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑆) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) = ((#‘𝑎) + 1))
94	87, 89, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) = ((#‘𝑎) + 1))
95	86, 11	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))))
96		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))) ↔ (𝑎 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑎 ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))))
97	96	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))) → 𝑎 ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀))))
98	95, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀))))
99		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (# Fn V → (𝑎 ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (#‘𝑎) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))))
100	56, 57, 99	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (#‘𝑎) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))))
101	98, 100	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ∈ V ∧ (#‘𝑎) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))))
102	101	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (#‘𝑎) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))
103		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑎) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)) → ((#‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ((#‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))
105	94, 104	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))
106		elpreima 6337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (# Fn V → ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))))
107	56, 57, 106	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀))))
108	83, 105, 107	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀))))
109	92, 108	elind 3798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))))
110	109, 11	syl6eleqr 2712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ 𝑊)
111		ccatws1n0 13409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑆) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ≠ ∅)
112	87, 89, 111	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ≠ ∅)
113		eldifsn 4317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ≠ ∅))
114	110, 112, 113	sylanbrc 698	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
115	84, 114	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩))𝑏) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
116	26, 29, 72, 115	seqf 12822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})):(ℤ≥‘(#‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅}))
117		fco2 6059	. . . 4 ⊢ ((( lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ∧ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})):(ℤ≥‘(#‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅})) → ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))):(ℤ≥‘(#‘𝑀))⟶𝑆)
118	25, 116, 117	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))):(ℤ≥‘(#‘𝑀))⟶𝑆)
119		fzouzdisj 12504	. . . 4 ⊢ ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) = ∅
120	119	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) = ∅)
121		fun 6066	. . 3 ⊢ (((𝑀:(0..^(#‘𝑀))⟶𝑆 ∧ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))):(ℤ≥‘(#‘𝑀))⟶𝑆) ∧ ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) = ∅) → (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))):((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))⟶(𝑆 ∪ 𝑆))
122	3, 118, 120, 121	syl21anc 1325	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))):((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))⟶(𝑆 ∪ 𝑆))
123	43, 1, 11, 42	sseqval 30450	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))))
124		fzouzsplit 12503	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(#‘𝑀))))
125	34, 124	sylbi 207	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(#‘𝑀))))
126	1, 27, 125	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(#‘𝑀))))
127	38, 126	syl5eq 2668	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(#‘𝑀))))
128		unidm 3756	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∪ 𝑆) = 𝑆
129	128	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ 𝑆) = 𝑆)
130	129	eqcomd 2628	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 ∪ 𝑆))
131	123, 127, 130	feq123d 6034	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹):ℕ0⟶𝑆 ↔ (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))):((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))⟶(𝑆 ∪ 𝑆)))
132	122, 131	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573  ∅c0 3915  {csn 4177   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114   ↾ cres 5116   “ cima 5117   ∘ ccom 5118  Fun wfun 5882   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  +∞cpnf 10071   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ..^cfzo 12465  seqcseq 12801  #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292   ++ cconcat 13293  ⟨“cs1 13294  seq_strcsseq 30445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-sseq 30446

This theorem is referenced by:  sseqp1  30457  fibp1  30463