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Theorem sseqf 30454
Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 |- ( ph -> S e. _V )
sseqval.2 |- ( ph -> M e. Word S )
sseqval.3 |- W = (Word S i^i ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) )
sseqval.4 |- ( ph -> F : W --> S )
Assertion
Ref Expression
sseqf |- ( ph -> ( Mseqstr F ) : NN0 --> S )
Proof of Theorem sseqf
Dummy variables x y a b w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.2 . . . 4 |- ( ph -> M e. Word S )
2 wrdf 13310 . . . 4 |- ( M e. Word S -> M : ( 0..^ ( # ` M ) ) --> S )
31, 2syl 17 . . 3 |- ( ph -> M : ( 0..^ ( # ` M ) ) --> S )
4 vex 3203 . . . . . . . . 9 |- w e. _V
54a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. ( W \ { (/) } ) ) -> w e. _V )
6 fvex 6201 . . . . . . . . 9 |- ( x ` ( ( # ` x ) - 1 ) ) e. _V
7 df-lsw 13300 . . . . . . . . 9 |- lastS = ( x e. _V |-> ( x ` ( ( # ` x ) - 1 ) ) )
86, 7dmmpti 6023 . . . . . . . 8 |- dom lastS = _V
95, 8syl6eleqr 2712 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. ( W \ { (/) } ) ) -> w e. dom lastS )
10 eldifsn 4317 . . . . . . . . 9 |- ( w e. ( W \ { (/) } ) <-> ( w e. W /\ w =/= (/) ) )
11 sseqval.3 . . . . . . . . . . . 12 |- W = (Word S i^i ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) )
12 inss1 3833 . . . . . . . . . . . 12 |- (Word S i^i ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) ) C_ Word S
1311, 12eqsstri 3635 . . . . . . . . . . 11 |- W C_ Word S
1413sseli 3599 . . . . . . . . . 10 |- ( w e. W -> w e. Word S )
15 lswcl 13355 . . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Word S /\ w =/= (/) ) -> ( lastS ` w ) e. S )
1614, 15sylan 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( w e. W /\ w =/= (/) ) -> ( lastS ` w ) e. S )
1710, 16sylbi 207 . . . . . . . 8 |- ( w e. ( W \ { (/) } ) -> ( lastS ` w ) e. S )
1817adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. ( W \ { (/) } ) ) -> ( lastS ` w ) e. S )
199, 18jca 554 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. ( W \ { (/) } ) ) -> ( w e. dom lastS /\ ( lastS ` w ) e. S ) )
2019ralrimiva 2966 . . . . 5 |- ( ph -> A. w e. ( W \ { (/) } ) ( w e. dom lastS /\ ( lastS ` w ) e. S ) )
216, 7fnmpti 6022 . . . . . 6 |- lastS Fn _V
22 fnfun 5988 . . . . . 6 |- ( lastS Fn _V -> Fun lastS )
23 ffvresb 6394 . . . . . 6 |- ( Fun lastS -> ( ( lastS |` ( W \ { (/) } ) ) : ( W \ { (/) } ) --> S <-> A. w e. ( W \ { (/) } ) ( w e. dom lastS /\ ( lastS ` w ) e. S ) ) )
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 |- ( ( lastS |` ( W \ { (/) } ) ) : ( W \ { (/) } ) --> S <-> A. w e. ( W \ { (/) } ) ( w e. dom lastS /\ ( lastS ` w ) e. S ) )
2520, 24sylibr 224 . . . 4 |- ( ph -> ( lastS |` ( W \ { (/) } ) ) : ( W \ { (/) } ) --> S )
26 eqid 2622 . . . . 5 |- ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) = ( ZZ>= ` ( # ` M ) )
27 lencl 13324 . . . . . . 7 |- ( M e. Word S -> ( # ` M ) e. NN0 )
2827nn0zd 11480 . . . . . 6 |- ( M e. Word S -> ( # ` M ) e. ZZ )
291, 28syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> ( # ` M ) e. ZZ )
30 ovex 6678 . . . . . . 7 |- ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) e. _V
31 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) -> a e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) )
321, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` M ) e. NN0 )
3332adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) -> ( # ` M ) e. NN0 )
34 elnn0uz 11725 . . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` M ) e. NN0 <-> ( # ` M ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
3533, 34sylib 208 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) -> ( # ` M ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
36 uztrn 11704 . . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) /\ ( # ` M ) e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> a e. ( ZZ>= ` 0 ) )
3731, 35, 36syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) -> a e. ( ZZ>= ` 0 ) )
38 nn0uz 11722 . . . . . . . 8 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
3937, 38syl6eleqr 2712 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) -> a e. NN0 )
40 fvconst2g 6467 . . . . . . 7 |- ( ( ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) e. _V /\ a e. NN0 ) -> ( ( NN0 X. { ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) } ) ` a ) = ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) )
4130, 39, 40sylancr 695 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) -> ( ( NN0 X. { ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) } ) ` a ) = ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) )
42 sseqval.4 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : W --> S )
43 sseqval.1 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. _V )
4443, 1, 11, 42sseqmw 30453 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. W )
4542, 44ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` M ) e. S )
4645s1cld 13383 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> <" ( F ` M ) "> e. Word S )
47 ccatcl 13359 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. Word S /\ <" ( F ` M ) "> e. Word S ) -> ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) e. Word S )
481, 46, 47syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) e. Word S )
4930a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) e. _V )
50 ccatws1len 13398 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. Word S /\ ( F ` M ) e. S ) -> ( # ` ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) ) = ( ( # ` M ) + 1 ) )
511, 45, 50syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( # ` ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) ) = ( ( # ` M ) + 1 ) )
52 uzid 11702 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` M ) e. ZZ -> ( # ` M ) e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) )
53 peano2uz 11741 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` M ) e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) -> ( ( # ` M ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) )
5429, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( # ` M ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) )
5551, 54eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) ) e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) )
56 hashf 13125 . . . . . . . . . . . 12 |- # : _V --> ( NN0 u. { +oo } )
57 ffn 6045 . . . . . . . . . . . 12 |- ( # : _V --> ( NN0 u. { +oo } ) -> # Fn _V )
58 elpreima 6337 . . . . . . . . . . . 12 |- ( # Fn _V -> ( ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) e. ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) <-> ( ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) e. _V /\ ( # ` ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) ) e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) ) )
5956, 57, 58mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) e. ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) <-> ( ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) e. _V /\ ( # ` ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) ) e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) )
6049, 55, 59sylanbrc 698 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) e. ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) )
6148, 60elind 3798 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) e. (Word S i^i ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) ) )
6261, 11syl6eleqr 2712 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) e. W )
6362adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) -> ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) e. W )
641adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) -> M e. Word S )
6542adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) -> F : W --> S )
6644adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) -> M e. W )
6765, 66ffvelrnd 6360 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) -> ( F ` M ) e. S )
68 ccatws1n0 13409 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. Word S /\ ( F ` M ) e. S ) -> ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) =/= (/) )
6964, 67, 68syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) -> ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) =/= (/) )
70 eldifsn 4317 . . . . . . 7 |- ( ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) e. ( W \ { (/) } ) <-> ( ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) e. W /\ ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) =/= (/) ) )
7163, 69, 70sylanbrc 698 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) -> ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) e. ( W \ { (/) } ) )
7241, 71eqeltrd 2701 . . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) -> ( ( NN0 X. { ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) } ) ` a ) e. ( W \ { (/) } ) )
73 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> ( x e. _V , y e. _V |-> ( x ++ <" ( F ` x ) "> ) ) = ( x e. _V , y e. _V |-> ( x ++ <" ( F ` x ) "> ) ) )
74 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) /\ ( x = a /\ y = b ) ) -> x = a )
7574fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) /\ ( x = a /\ y = b ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` a ) )
7675s1eqd 13381 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) /\ ( x = a /\ y = b ) ) -> <" ( F ` x ) "> = <" ( F ` a ) "> )
7774, 76oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) /\ ( x = a /\ y = b ) ) -> ( x ++ <" ( F ` x ) "> ) = ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) )
78 vex 3203 . . . . . . . 8 |- a e. _V
7978a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> a e. _V )
80 vex 3203 . . . . . . . 8 |- b e. _V
8180a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> b e. _V )
82 ovex 6678 . . . . . . . 8 |- ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) e. _V
8382a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) e. _V )
8473, 77, 79, 81, 83ovmpt2d 6788 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> ( a ( x e. _V , y e. _V |-> ( x ++ <" ( F ` x ) "> ) ) b ) = ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) )
85 eldifi 3732 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( W \ { (/) } ) -> a e. W )
8685ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> a e. W )
8713, 86sseldi 3601 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> a e. Word S )
8842adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> F : W --> S )
8988, 86ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> ( F ` a ) e. S )
9089s1cld 13383 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> <" ( F ` a ) "> e. Word S )
91 ccatcl 13359 . . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. Word S /\ <" ( F ` a ) "> e. Word S ) -> ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) e. Word S )
9287, 90, 91syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) e. Word S )
93 ccatws1len 13398 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. Word S /\ ( F ` a ) e. S ) -> ( # ` ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) ) = ( ( # ` a ) + 1 ) )
9487, 89, 93syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> ( # ` ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) ) = ( ( # ` a ) + 1 ) )
9586, 11syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> a e. (Word S i^i ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) ) )
96 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. (Word S i^i ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) ) <-> ( a e. Word S /\ a e. ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) ) )
9796simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. (Word S i^i ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) ) -> a e. ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) )
9895, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> a e. ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) )
99 elpreima 6337 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( # Fn _V -> ( a e. ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) <-> ( a e. _V /\ ( # ` a ) e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) ) )
10056, 57, 99mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) <-> ( a e. _V /\ ( # ` a ) e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) )
10198, 100sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> ( a e. _V /\ ( # ` a ) e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) )
102101simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> ( # ` a ) e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) )
103 peano2uz 11741 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` a ) e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) -> ( ( # ` a ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) )
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> ( ( # ` a ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) )
10594, 104eqeltrd 2701 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> ( # ` ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) ) e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) )
106 elpreima 6337 . . . . . . . . . . 11 |- ( # Fn _V -> ( ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) e. ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) <-> ( ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) e. _V /\ ( # ` ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) ) e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) ) )
10756, 57, 106mp2b 10 . . . . . . . . . 10 |- ( ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) e. ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) <-> ( ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) e. _V /\ ( # ` ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) ) e. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) )
10883, 105, 107sylanbrc 698 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) e. ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) )
10992, 108elind 3798 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) e. (Word S i^i ( `' # " ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) ) )
110109, 11syl6eleqr 2712 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) e. W )
111 ccatws1n0 13409 . . . . . . . 8 |- ( ( a e. Word S /\ ( F ` a ) e. S ) -> ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) =/= (/) )
11287, 89, 111syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) =/= (/) )
113 eldifsn 4317 . . . . . . 7 |- ( ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) e. ( W \ { (/) } ) <-> ( ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) e. W /\ ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) =/= (/) ) )
114110, 112, 113sylanbrc 698 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> ( a ++ <" ( F ` a ) "> ) e. ( W \ { (/) } ) )
11584, 114eqeltrd 2701 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( W \ { (/) } ) /\ b e. ( W \ { (/) } ) ) ) -> ( a ( x e. _V , y e. _V |-> ( x ++ <" ( F ` x ) "> ) ) b ) e. ( W \ { (/) } ) )
11626, 29, 72, 115seqf 12822 . . . 4 |- ( ph -> seq ( # ` M ) ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x ++ <" ( F ` x ) "> ) ) , ( NN0 X. { ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) } ) ) : ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) --> ( W \ { (/) } ) )
117 fco2 6059 . . . 4 |- ( ( ( lastS |` ( W \ { (/) } ) ) : ( W \ { (/) } ) --> S /\ seq ( # ` M ) ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x ++ <" ( F ` x ) "> ) ) , ( NN0 X. { ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) } ) ) : ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) --> ( W \ { (/) } ) ) -> ( lastS o. seq ( # ` M ) ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x ++ <" ( F ` x ) "> ) ) , ( NN0 X. { ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) } ) ) ) : ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) --> S )
11825, 116, 117syl2anc 693 . . 3 |- ( ph -> ( lastS o. seq ( # ` M ) ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x ++ <" ( F ` x ) "> ) ) , ( NN0 X. { ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) } ) ) ) : ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) --> S )
119 fzouzdisj 12504 . . . 4 |- ( ( 0..^ ( # ` M ) ) i^i ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) = (/)
120119a1i 11 . . 3 |- ( ph -> ( ( 0..^ ( # ` M ) ) i^i ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) = (/) )
121 fun 6066 . . 3 |- ( ( ( M : ( 0..^ ( # ` M ) ) --> S /\ ( lastS o. seq ( # ` M ) ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x ++ <" ( F ` x ) "> ) ) , ( NN0 X. { ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) } ) ) ) : ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) --> S ) /\ ( ( 0..^ ( # ` M ) ) i^i ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) = (/) ) -> ( M u. ( lastS o. seq ( # ` M ) ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x ++ <" ( F ` x ) "> ) ) , ( NN0 X. { ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) } ) ) ) ) : ( ( 0..^ ( # ` M ) ) u. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) --> ( S u. S ) )
1223, 118, 120, 121syl21anc 1325 . 2 |- ( ph -> ( M u. ( lastS o. seq ( # ` M ) ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x ++ <" ( F ` x ) "> ) ) , ( NN0 X. { ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) } ) ) ) ) : ( ( 0..^ ( # ` M ) ) u. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) --> ( S u. S ) )
12343, 1, 11, 42sseqval 30450 . . 3 |- ( ph -> ( Mseqstr F ) = ( M u. ( lastS o. seq ( # ` M ) ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x ++ <" ( F ` x ) "> ) ) , ( NN0 X. { ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) } ) ) ) ) )
124 fzouzsplit 12503 . . . . . 6 |- ( ( # ` M ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0..^ ( # ` M ) ) u. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) )
12534, 124sylbi 207 . . . . 5 |- ( ( # ` M ) e. NN0 -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0..^ ( # ` M ) ) u. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) )
1261, 27, 1253syl 18 . . . 4 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0..^ ( # ` M ) ) u. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) )
12738, 126syl5eq 2668 . . 3 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0..^ ( # ` M ) ) u. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) )
128 unidm 3756 . . . . 5 |- ( S u. S ) = S
129128a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> ( S u. S ) = S )
130129eqcomd 2628 . . 3 |- ( ph -> S = ( S u. S ) )
131123, 127, 130feq123d 6034 . 2 |- ( ph -> ( ( Mseqstr F ) : NN0 --> S <-> ( M u. ( lastS o. seq ( # ` M ) ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x ++ <" ( F ` x ) "> ) ) , ( NN0 X. { ( M ++ <" ( F ` M ) "> ) } ) ) ) ) : ( ( 0..^ ( # ` M ) ) u. ( ZZ>= ` ( # ` M ) ) ) --> ( S u. S ) ) )
132122, 131mpbird 247 1 |- ( ph -> ( Mseqstr F ) : NN0 --> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   seqcseq 12801   #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292   ++ cconcat 13293   <"cs1 13294  seqstrcsseq 30445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-sseq 30446
This theorem is referenced by:  sseqp1  30457  fibp1  30463
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