Theorem swrdswrd 13460

Description: A subword of a subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdswrd	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)))

Proof of Theorem swrdswrd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdcl 13419	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
2	1	3ad2ant1 1082	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
3	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
4		elfz0ubfz0 12443	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
5	4	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
6		elfzuz 12338	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
7	6	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
8		fzss1 12380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) ⊆ (0...(𝑁 − 𝑀)))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) ⊆ (0...(𝑁 − 𝑀)))
10	9	sseld 3602	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))))
11	10	impr 649	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))
12		3ancomb 1047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))))
13	12	biimpi 206	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))))
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))))
15		swrdlen 13423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁 − 𝑀))
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (#‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁 − 𝑀))
17	16	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (0...(#‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))) = (0...(𝑁 − 𝑀)))
18	11, 17	eleqtrrd 2704	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(#‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))))
19		swrdval2 13420	. . . 4 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))))
20	3, 5, 18, 19	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))))
21		fvex 6201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) ∈ V
22		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))
23	21, 22	fnmpti 6022	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) Fn (0..^(𝐿 − 𝐾))
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) Fn (0..^(𝐿 − 𝐾)))
25		swrdswrdlem 13459	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊))))
26		swrdvalfn 13426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
28		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
29		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
30		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ)
31		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
33		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
34	33	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℂ)
35		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
36	35	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
37		pnpcan 10320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)) = (𝐿 − 𝐾))
38	37	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
39	32, 34, 36, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
40	39	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
41	29, 30, 40	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
42	28, 41	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
43	42	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
44	43	imp 445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
45	44	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (0..^(𝐿 − 𝐾)) = (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
46	45	fneq2d 5982	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↔ (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
47	27, 46	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^(𝐿 − 𝐾)))
48		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)))
49		fvex 6201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) ∈ V
50		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
51	50	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 + 𝐾) + 𝑀) = ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀))
52	51	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
53		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
54	52, 53	fvmptg 6280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ∧ (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
55	48, 49, 54	sylancl 694	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
56		elfzoelz 12470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → 𝑦 ∈ ℤ)
57		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
58	57, 31, 35	3anim123i 1247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
59	58	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
60		add32r 10255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)) = ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀))
61	60	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
62	59, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
63	62	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
64	63	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
65	30, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
67	28, 66	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
68	67	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
69	68	imp 445	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
70	56, 69	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
71	70	impcom 446	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
72	71	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
73	55, 72	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
74	13	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))))
75		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
76		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))))
77		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝐿 − 𝐾)))
78		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℝ)
79	78	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
80		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
82		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
83	82	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
84		ltaddsub 10502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 ↔ 𝑥 < (𝐿 − 𝐾)))
85	84	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) ↔ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿))
86	79, 81, 83, 85	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) ↔ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿))
87		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
88	87	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0))
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0))
90	89	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
91	90	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
92		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝐾)))
93		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
94		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
96	82	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
97		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → 0 < 𝐿))
98	93, 95, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → 0 < 𝐿))
99		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
100	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
101		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ)
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ)
103		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ) → ((0 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → 0 < (𝑁 − 𝑀)))
104	99, 100, 102, 103	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → ((0 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → 0 < (𝑁 − 𝑀)))
105		elnnnn0b 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝑁 − 𝑀)))
106	105	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (0 < (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
107	106	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (0 < (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
108	104, 107	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → ((0 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
109	108	exp4b 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (0 < 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))
110	109	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))
112	98, 111	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))
113	112	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))))
114	113	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))))
115	114	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))))))
116	115	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))))))
117	116	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝐾)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))))
118	92, 117	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))))
119	87, 118	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))))
120	119	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))))
121	120	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))
122	121	imp41 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)
123		nn0readdcl 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
124	123	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ))
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ))
126	125	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
128	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
129	101	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ)
130		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀)))
131	127, 128, 129, 130	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀)))
132	131	exp4b 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀)))))
133	132	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀)))))
134	133	imp41 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀))
135		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀)))
136	91, 122, 134, 135	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
137	136	exp41 638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
138	86, 137	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
139	138	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))))
140	139	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))))
141	140	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
142	141	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
143	142	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < (𝐿 − 𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
144	143	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝐿 − 𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
145	77, 144	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
146	145	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
147	146	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
148	147	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
149	148	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
150	149	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))
151	76, 150	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))
152	151	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))
153	152	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))
154	75, 153	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))
155	154	imp 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))
156	155	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))
157	156	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))
158	157	imp 445	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
159		swrdfv 13424	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
160	74, 158, 159	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
161	160	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀))))
162	161	fveq1d 6193	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦))
163	25	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊))))
164	31, 33, 35	3anim123i 1247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
165	164	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
166	165, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
167	166	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
168	167	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
169	29, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
170	30, 169	mpan9 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
171	28, 170	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
172	171	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
173	172	imp 445	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
174	173	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (0..^(𝐿 − 𝐾)) = (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
175	174	eleq2d 2687	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↔ 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
176	175	biimpa 501	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
177		swrdfv 13424	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
178	163, 176, 177	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
179	73, 162, 178	3eqtr4d 2666	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))‘𝑦) = ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦))
180	24, 47, 179	eqfnfvd 6314	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩))
181	20, 180	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩))
182	181	ex 450	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   Fn wfn 5883  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   substr csubstr 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-substr 13303

This theorem is referenced by:  swrd0swrd  13461  swrdswrd0  13462