Theorem fniniseg 6338

Description: Membership in the preimage of a singleton, under a function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro , 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fniniseg	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)))

Proof of Theorem fniniseg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpreima 6337	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵})))
2		fvex 6201	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐶) ∈ V
3	2	elsn 4192	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)
4	3	anbi2i 730	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵))
5	1, 4	syl6bb 276	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {csn 4177  ^◡ccnv 5113   “ cima 5117   Fn wfn 5883  ‘cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  fparlem1  7277  fparlem2  7278  pw2f1olem  8064  recmulnq  9786  dmrecnq  9790  vdwlem1  15685  vdwlem2  15686  vdwlem6  15690  vdwlem8  15692  vdwlem9  15693  vdwlem12  15696  vdwlem13  15697  ramval  15712  ramub1lem1  15730  ghmeqker  17687  efgrelexlemb  18163  efgredeu  18165  psgnevpmb  19933  qtopeu  21519  itg1addlem1  23459  i1faddlem  23460  i1fmullem  23461  i1fmulclem  23469  i1fres  23472  itg10a  23477  itg1ge0a  23478  itg1climres  23481  mbfi1fseqlem4  23485  ply1remlem  23922  ply1rem  23923  fta1glem1  23925  fta1glem2  23926  fta1g  23927  fta1blem  23928  plyco0  23948  ofmulrt  24037  plyremlem  24059  plyrem  24060  fta1lem  24062  fta1  24063  vieta1lem1  24065  vieta1lem2  24066  vieta1  24067  plyexmo  24068  elaa  24071  aannenlem1  24083  aalioulem2  24088  pilem1  24205  efif1olem3  24290  efif1olem4  24291  efifo  24293  eff1olem  24294  basellem4  24810  lgsqrlem2  25072  lgsqrlem3  25073  rpvmasum2  25201  dirith  25218  foresf1o  29343  ofpreima  29465  1stpreimas  29483  locfinreflem  29907  qqhre  30064  indpi1  30082  indpreima  30087  sibfof  30402  cvmliftlem6  31272  cvmliftlem7  31273  cvmliftlem8  31274  cvmliftlem9  31275  taupilem3  33165  itg2addnclem  33461  itg2addnclem2  33462  pw2f1o2val2  37607  dnnumch3  37617  proot1mul  37777  proot1hash  37778  proot1ex  37779  wessf1ornlem  39371