Theorem zsupss 11777

Description: Any nonempty bounded subset of integers has a supremum in the set. (The proof does not use ax-pre-sup 10014.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zsupss	⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem zsupss

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4656	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑚 ≤ 𝑥))
2	1	cbvralv 3171	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑥)
3		breq2 4657	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑚 ≤ 𝑥 ↔ 𝑚 ≤ 𝑛))
4	3	ralbidv 2986	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛))
5	2, 4	syl5bb 272	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛))
6	5	cbvrexv 3172	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)
7		simp1rl 1126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
8	7	znegcld 11484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → -𝑛 ∈ ℤ)
9		simp2 1062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
10	9	zred 11482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
11	7	zred 11482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
12		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → -𝑤 ∈ 𝐴)
13		simp1rr 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)
14		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = -𝑤 → (𝑚 ≤ 𝑛 ↔ -𝑤 ≤ 𝑛))
15	14	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑤 ∈ 𝐴 → (∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛 → -𝑤 ≤ 𝑛))
16	12, 13, 15	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → -𝑤 ≤ 𝑛)
17	10, 11, 16	lenegcon1d 10609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → -𝑛 ≤ 𝑤)
18		eluz2 11693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (ℤ≥‘-𝑛) ↔ (-𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑛 ≤ 𝑤))
19	8, 9, 17, 18	syl3anbrc 1246	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ (ℤ≥‘-𝑛))
20	19	rabssdv 3682	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
21		n0 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 𝑛 ∈ 𝐴)
22		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
23	22	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → -𝑛 ∈ ℤ)
24	22	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℂ)
25	24	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → --𝑛 = 𝑛)
26		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ 𝐴)
27	25, 26	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → --𝑛 ∈ 𝐴)
28		negeq 10273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = -𝑛 → -𝑤 = --𝑛)
29	28	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = -𝑛 → (-𝑤 ∈ 𝐴 ↔ --𝑛 ∈ 𝐴))
30	29	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-𝑛 ∈ ℤ ∧ --𝑛 ∈ 𝐴) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤 ∈ 𝐴)
31	23, 27, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤 ∈ 𝐴)
32	31	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛 ∈ 𝐴 → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤 ∈ 𝐴))
33	32	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (∃𝑛 𝑛 ∈ 𝐴 → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤 ∈ 𝐴))
34	33	imp 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 𝑛 ∈ 𝐴) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤 ∈ 𝐴)
35	21, 34	sylan2b 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤 ∈ 𝐴)
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤 ∈ 𝐴)
37		rabn0 3958	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤 ∈ 𝐴)
38	36, 37	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
39		infssuzcl 11772	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ∧ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ≠ ∅) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴})
40	20, 38, 39	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴})
41		negeq 10273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → -𝑛 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
42	41	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (-𝑛 ∈ 𝐴 ↔ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
43		negeq 10273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑛 → -𝑤 = -𝑛)
44	43	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑛 → (-𝑤 ∈ 𝐴 ↔ -𝑛 ∈ 𝐴))
45	44	cbvrabv 3199	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴}
46	42, 45	elrab2 3366	. . . . . . 7 ⊢ (inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ (inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
47	46	simprbi 480	. . . . . 6 ⊢ (inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
48	40, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
49		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ⊆ ℤ
50	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴})
51	49, 50	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
52	51	zred 11482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
53		simpll 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
54	53	sselda 3603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℤ)
55	54	zred 11482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
56	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘-𝑛))
57	54	znegcld 11484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -𝑦 ∈ ℤ)
58	54	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
59	58	negnegd 10383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → --𝑦 = 𝑦)
60		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
61	59, 60	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → --𝑦 ∈ 𝐴)
62		negeq 10273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑦 → -𝑤 = --𝑦)
63	62	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑦 → (-𝑤 ∈ 𝐴 ↔ --𝑦 ∈ 𝐴))
64	63	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ (-𝑦 ∈ ℤ ∧ --𝑦 ∈ 𝐴))
65	57, 61, 64	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴})
66		infssuzle 11771	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ⊆ (ℤ≥‘-𝑛) ∧ -𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ -𝑦)
67	56, 65, 66	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ -𝑦)
68	52, 55, 67	lenegcon2d 10610	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
69	51	znegcld 11484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
70	69	zred 11482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
71	55, 70	lenltd 10183	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ↔ ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
72	68, 71	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦)
73	72	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦)
74		breq2 4657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
75	74	rspcev 3309	. . . . . . . 8 ⊢ ((-inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)
76	75	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ (-inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴 → (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
77	48, 76	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) → (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
78	77	ralrimivw 2967	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
79		breq1 4656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
80	79	notbid 308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
81	80	ralbidv 2986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
82		breq2 4657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
83	82	imbi1d 331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
84	83	ralbidv 2986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
85	81, 84	anbi12d 747	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
86	85	rspcev 3309	. . . . 5 ⊢ ((-inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
87	48, 73, 78, 86	syl12anc 1324	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
88	87	rexlimdvaa 3032	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
89	6, 88	syl5bi 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
90	89	3impia 1261	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  infcinf 8347  ℝcr 9935   < clt 10074   ≤ cle 10075  -cneg 10267  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  suprzcl2  11778  suprzub  11779  uzsupss  11780