Theorem zsupss 11777

Description: Any nonempty bounded subset of integers has a supremum in the set. (The proof does not use ax-pre-sup 10014.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zsupss	|- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B

Allowed substitution hints:   B( y, z)

Proof of Theorem zsupss

Dummy variables m n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( y = m -> ( y <_ x <-> m <_ x ) )
2	1	cbvralv 3171	. . . . 5 |- ( A. y e. A y <_ x <-> A. m e. A m <_ x )
3		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( m <_ x <-> m <_ n ) )
4	3	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = n -> ( A. m e. A m <_ x <-> A. m e. A m <_ n ) )
5	2, 4	syl5bb 272	. . . 4 |- ( x = n -> ( A. y e. A y <_ x <-> A. m e. A m <_ n ) )
6	5	cbvrexv 3172	. . 3 |- ( E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x <-> E. n e. ZZ A. m e. A m <_ n )
7		simp1rl 1126	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> n e. ZZ )
8	7	znegcld 11484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> -u n e. ZZ )
9		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> w e. ZZ )
10	9	zred 11482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> w e. RR )
11	7	zred 11482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> n e. RR )
12		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> -u w e. A )
13		simp1rr 1127	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> A. m e. A m <_ n )
14		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = -u w -> ( m <_ n <-> -u w <_ n ) )
15	14	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u w e. A -> ( A. m e. A m <_ n -> -u w <_ n ) )
16	12, 13, 15	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> -u w <_ n )
17	10, 11, 16	lenegcon1d 10609	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> -u n <_ w )
18		eluz2 11693	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( ZZ>= ` -u n ) <-> ( -u n e. ZZ /\ w e. ZZ /\ -u n <_ w ) )
19	8, 9, 17, 18	syl3anbrc 1246	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> w e. ( ZZ>= ` -u n ) )
20	19	rabssdv 3682	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> { w e. ZZ | -u w e. A } C_ ( ZZ>= ` -u n ) )
21		n0 3931	. . . . . . . . . 10 |- ( A =/= (/) <-> E. n n e. A )
22		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ ZZ /\ n e. A ) -> n e. ZZ )
23	22	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ ZZ /\ n e. A ) -> -u n e. ZZ )
24	22	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ ZZ /\ n e. A ) -> n e. CC )
25	24	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ ZZ /\ n e. A ) -> -u -u n = n )
26		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ ZZ /\ n e. A ) -> n e. A )
27	25, 26	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ ZZ /\ n e. A ) -> -u -u n e. A )
28		negeq 10273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = -u n -> -u w = -u -u n )
29	28	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = -u n -> ( -u w e. A <-> -u -u n e. A ) )
30	29	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u n e. ZZ /\ -u -u n e. A ) -> E. w e. ZZ -u w e. A )
31	23, 27, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ ZZ /\ n e. A ) -> E. w e. ZZ -u w e. A )
32	31	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ ZZ -> ( n e. A -> E. w e. ZZ -u w e. A ) )
33	32	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ ZZ -> ( E. n n e. A -> E. w e. ZZ -u w e. A ) )
34	33	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ ZZ /\ E. n n e. A ) -> E. w e. ZZ -u w e. A )
35	21, 34	sylan2b 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) -> E. w e. ZZ -u w e. A )
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> E. w e. ZZ -u w e. A )
37		rabn0 3958	. . . . . . . 8 |- ( { w e. ZZ | -u w e. A } =/= (/) <-> E. w e. ZZ -u w e. A )
38	36, 37	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> { w e. ZZ | -u w e. A } =/= (/) )
39		infssuzcl 11772	. . . . . . 7 |- ( ( { w e. ZZ | -u w e. A } C_ ( ZZ>= ` -u n ) /\ { w e. ZZ | -u w e. A } =/= (/) ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. { w e. ZZ | -u w e. A } )
40	20, 38, 39	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. { w e. ZZ | -u w e. A } )
41		negeq 10273	. . . . . . . . 9 |- ( n = inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> -u n = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) )
42	41	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( n = inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( -u n e. A <-> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A ) )
43		negeq 10273	. . . . . . . . . 10 |- ( w = n -> -u w = -u n )
44	43	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( w = n -> ( -u w e. A <-> -u n e. A ) )
45	44	cbvrabv 3199	. . . . . . . 8 |- { w e. ZZ | -u w e. A } = { n e. ZZ | -u n e. A }
46	42, 45	elrab2 3366	. . . . . . 7 |- (inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. { w e. ZZ | -u w e. A } <-> (inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. ZZ /\ -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A ) )
47	46	simprbi 480	. . . . . 6 |- (inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. { w e. ZZ | -u w e. A } -> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A )
48	40, 47	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A )
49		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { w e. ZZ | -u w e. A } C_ ZZ
50	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. { w e. ZZ | -u w e. A } )
51	49, 50	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. ZZ )
52	51	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. RR )
53		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> A C_ ZZ )
54	53	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> y e. ZZ )
55	54	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> y e. RR )
56	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> { w e. ZZ | -u w e. A } C_ ( ZZ>= ` -u n ) )
57	54	znegcld 11484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> -u y e. ZZ )
58	54	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> y e. CC )
59	58	negnegd 10383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> -u -u y = y )
60		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> y e. A )
61	59, 60	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> -u -u y e. A )
62		negeq 10273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = -u y -> -u w = -u -u y )
63	62	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = -u y -> ( -u w e. A <-> -u -u y e. A ) )
64	63	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( -u y e. { w e. ZZ | -u w e. A } <-> ( -u y e. ZZ /\ -u -u y e. A ) )
65	57, 61, 64	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> -u y e. { w e. ZZ | -u w e. A } )
66		infssuzle 11771	. . . . . . . . 9 |- ( ( { w e. ZZ | -u w e. A } C_ ( ZZ>= ` -u n ) /\ -u y e. { w e. ZZ | -u w e. A } ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) <_ -u y )
67	56, 65, 66	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) <_ -u y )
68	52, 55, 67	lenegcon2d 10610	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> y <_ -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) )
69	51	znegcld 11484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. ZZ )
70	69	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. RR )
71	55, 70	lenltd 10183	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> ( y <_ -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) <-> -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y ) )
72	68, 71	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ y e. A ) -> -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y )
73	72	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> A. y e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y )
74		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( z = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( y < z <-> y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) ) )
75	74	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A /\ y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) ) -> E. z e. A y < z )
76	75	ex 450	. . . . . . 7 |- ( -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A -> ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) )
77	48, 76	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) )
78	77	ralrimivw 2967	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> A. y e. B ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) )
79		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( x < y <-> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y ) )
80	79	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( -. x < y <-> -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y ) )
81	80	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( A. y e. A -. x < y <-> A. y e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y ) )
82		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( y < x <-> y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) ) )
83	82	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( ( y < x -> E. z e. A y < z ) <-> ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) ) )
84	83	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) <-> A. y e. B ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) ) )
85	81, 84	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) <-> ( A. y e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y /\ A. y e. B ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) ) ) )
86	85	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A /\ ( A. y e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y /\ A. y e. B ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) ) ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
87	48, 73, 78, 86	syl12anc 1324	. . . 4 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
88	87	rexlimdvaa 3032	. . 3 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) -> ( E. n e. ZZ A. m e. A m <_ n -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
89	6, 88	syl5bi 232	. 2 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
90	89	3impia 1261	1 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  infcinf 8347   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  suprzcl2  11778  suprzub  11779  uzsupss  11780