Theorem 3cyclfrgrrn1 27149

Description: Every vertex in a friendship graph (with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3cyclfrgrrn1.v	|- V = (Vtx ` G )
3cyclfrgrrn1.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
3cyclfrgrrn1	|- ( ( G e. FriendGraph /\ ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) )

Distinct variable groups:   A, b, c   E, b, c   V, b, c

Allowed substitution hints:   C( b, c)   G( b, c)

Proof of Theorem 3cyclfrgrrn1

Dummy variables a x z y u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cyclfrgrrn1.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2		3cyclfrgrrn1.e	. . . 4 |- E = (Edg ` G )
3	1, 2	2pthfrgrrn2 27147	. . 3 |- ( G e. FriendGraph -> A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) )
4		necom 2847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
5		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( V \ { A } ) <-> ( C e. V /\ C =/= A ) )
6	5	simplbi2com 657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C =/= A -> ( C e. V -> C e. ( V \ { A } ) ) )
7	4, 6	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= C -> ( C e. V -> C e. ( V \ { A } ) ) )
8	7	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. V -> ( A =/= C -> C e. ( V \ { A } ) ) )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> C e. ( V \ { A } ) ) )
10	9	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> C e. ( V \ { A } ) )
11		sneq 4187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> { a } = { A } )
12	11	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( V \ { a } ) = ( V \ { A } ) )
13		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = A -> { a , x } = { A , x } )
14	13	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = A -> ( { a , x } e. E <-> { A , x } e. E ) )
15	14	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> ( ( { a , x } e. E /\ { x , z } e. E ) <-> ( { A , x } e. E /\ { x , z } e. E ) ) )
16		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = A -> ( a =/= x <-> A =/= x ) )
17	16	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> ( ( a =/= x /\ x =/= z ) <-> ( A =/= x /\ x =/= z ) ) )
18	15, 17	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> ( ( ( { a , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) <-> ( ( { A , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
19	18	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( E. x e. V ( ( { a , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) <-> E. x e. V ( ( { A , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
20	12, 19	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> ( A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) <-> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
21	20	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
22	21	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
23		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = C -> { x , z } = { x , C } )
24	23	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = C -> ( { x , z } e. E <-> { x , C } e. E ) )
25	24	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = C -> ( ( { A , x } e. E /\ { x , z } e. E ) <-> ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) ) )
26		neeq2 2857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = C -> ( x =/= z <-> x =/= C ) )
27	26	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = C -> ( ( A =/= x /\ x =/= z ) <-> ( A =/= x /\ x =/= C ) ) )
28	25, 27	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( z = C -> ( ( ( { A , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) <-> ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
29	28	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( z = C -> ( E. x e. V ( ( { A , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) <-> E. x e. V ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
30	29	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( V \ { A } ) -> ( A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) -> E. x e. V ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
31	10, 22, 30	sylsyld 61	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> E. x e. V ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
32	1, 2	2pthfrgrrn 27146	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. FriendGraph -> A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) )
33		necom 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A =/= x <-> x =/= A )
34		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. ( V \ { A } ) <-> ( x e. V /\ x =/= A ) )
35	34	simplbi2com 657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x =/= A -> ( x e. V -> x e. ( V \ { A } ) ) )
36	33, 35	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A =/= x -> ( x e. V -> x e. ( V \ { A } ) ) )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A =/= x /\ A e. V ) -> ( x e. V -> x e. ( V \ { A } ) ) )
38	37	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> x e. ( V \ { A } ) )
39		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( u = A -> { u } = { A } )
40	39	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = A -> ( V \ { u } ) = ( V \ { A } ) )
41		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( u = A -> { u , y } = { A , y } )
42	41	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( u = A -> ( { u , y } e. E <-> { A , y } e. E ) )
43	42	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( u = A -> ( ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) <-> ( { A , y } e. E /\ { y , v } e. E ) ) )
44	43	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = A -> ( E. y e. V ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) <-> E. y e. V ( { A , y } e. E /\ { y , v } e. E ) ) )
45	40, 44	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u = A -> ( A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) <-> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. E /\ { y , v } e. E ) ) )
46	45	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) -> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. E /\ { y , v } e. E ) ) )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A =/= x /\ A e. V ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) -> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. E /\ { y , v } e. E ) ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) -> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. E /\ { y , v } e. E ) ) )
49		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = x -> { y , v } = { y , x } )
50	49	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v = x -> ( { y , v } e. E <-> { y , x } e. E ) )
51	50	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v = x -> ( ( { A , y } e. E /\ { y , v } e. E ) <-> ( { A , y } e. E /\ { y , x } e. E ) ) )
52	51	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = x -> ( E. y e. V ( { A , y } e. E /\ { y , v } e. E ) <-> E. y e. V ( { A , y } e. E /\ { y , x } e. E ) ) )
53	52	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( V \ { A } ) -> ( A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. E /\ { y , v } e. E ) -> E. y e. V ( { A , y } e. E /\ { y , x } e. E ) ) )
54	38, 48, 53	sylsyld 61	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) -> E. y e. V ( { A , y } e. E /\ { y , x } e. E ) ) )
55		prcom 4267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- { A , y } = { y , A }
56	55	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( { A , y } e. E <-> { y , A } e. E )
57		prcom 4267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- { y , x } = { x , y }
58	57	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( { y , x } e. E <-> { x , y } e. E )
59	56, 58	anbi12ci 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( { A , y } e. E /\ { y , x } e. E ) <-> ( { x , y } e. E /\ { y , A } e. E ) )
60		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( b = x -> { A , b } = { A , x } )
61	60	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( b = x -> ( { A , b } e. E <-> { A , x } e. E ) )
62		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( b = x -> { b , c } = { x , c } )
63	62	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( b = x -> ( { b , c } e. E <-> { x , c } e. E ) )
64		biidd 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( b = x -> ( { c , A } e. E <-> { c , A } e. E ) )
65	61, 63, 64	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( b = x -> ( ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) <-> ( { A , x } e. E /\ { x , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) )
66		biidd 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( c = y -> ( { A , x } e. E <-> { A , x } e. E ) )
67		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( c = y -> { x , c } = { x , y } )
68	67	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( c = y -> ( { x , c } e. E <-> { x , y } e. E ) )
69		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( c = y -> { c , A } = { y , A } )
70	69	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( c = y -> ( { c , A } e. E <-> { y , A } e. E ) )
71	66, 68, 70	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( c = y -> ( ( { A , x } e. E /\ { x , c } e. E /\ { c , A } e. E ) <-> ( { A , x } e. E /\ { x , y } e. E /\ { y , A } e. E ) ) )
72	65, 71	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( x e. V /\ y e. V /\ ( { A , x } e. E /\ { x , y } e. E /\ { y , A } e. E ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) )
73	72	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( { A , x } e. E /\ { x , y } e. E /\ { y , A } e. E ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) )
74	73	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( { A , x } e. E /\ { x , y } e. E /\ { y , A } e. E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) )
75	74	3expib 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( { A , x } e. E -> ( ( { x , y } e. E /\ { y , A } e. E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) )
76	59, 75	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( { A , x } e. E -> ( ( { A , y } e. E /\ { y , x } e. E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) -> ( ( { A , y } e. E /\ { y , x } e. E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) )
78	77	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( ( { A , y } e. E /\ { y , x } e. E ) -> ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) )
79	78	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. V -> ( E. y e. V ( { A , y } e. E /\ { y , x } e. E ) -> ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) )
80	79	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) -> ( E. y e. V ( { A , y } e. E /\ { y , x } e. E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) )
81	54, 80	syl9 77	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) ) )
82	81	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A =/= x -> ( A e. V -> ( x e. V -> ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) ) ) ) )
83	82	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A =/= x -> ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) ) ) ) )
84	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A =/= x /\ x =/= C ) -> ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) ) ) ) )
85	84	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) ) ) )
86	85	com15 101	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. V -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) -> ( ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) ) ) )
87	86	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) -> ( ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) ) )
88	87	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> ( x e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) -> ( ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) ) )
89	88	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( x e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) -> ( ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) ) )
90	89	com4t 93	. . . . . . . . . 10 |- ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. E /\ { y , v } e. E ) -> ( ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) ) )
91	32, 90	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( G e. FriendGraph -> ( ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) ) )
92	91	com14 96	. . . . . . . 8 |- ( x e. V -> ( ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( G e. FriendGraph -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) ) )
93	92	rexlimiv 3027	. . . . . . 7 |- ( E. x e. V ( ( { A , x } e. E /\ { x , C } e. E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( G e. FriendGraph -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) )
94	31, 93	syl6 35	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( G e. FriendGraph -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) ) )
95	94	pm2.43a 54	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( G e. FriendGraph -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) )
96	95	ex 450	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( G e. FriendGraph -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) ) )
97	96	com4t 93	. . 3 |- ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. E /\ { x , z } e. E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( G e. FriendGraph -> ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) ) )
98	3, 97	mpcom 38	. 2 |- ( G e. FriendGraph -> ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) ) ) )
99	98	3imp 1256	1 |- ( ( G e. FriendGraph /\ ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , A } e. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   FriendGraph cfrgr 27120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-umgr 25978  df-usgr 26046  df-frgr 27121

This theorem is referenced by:  3cyclfrgrrn  27150