Theorem acsficl 17171

Description: A closure in an algebraic closure system is the union of the closures of finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsdrscl.f	|- F = (mrCls ` C )

Assertion

Ref	Expression
acsficl	|- ( ( C e. (ACS ` X ) /\ S C_ X ) -> ( F ` S ) = U. ( F " ( ~P S i^i Fin ) ) )

Proof of Theorem acsficl

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6220	. . . 4 |- ( C e. (ACS ` X ) -> X e. dom ACS )
2		elpw2g 4827	. . . 4 |- ( X e. dom ACS -> ( S e. ~P X <-> S C_ X ) )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( C e. (ACS ` X ) -> ( S e. ~P X <-> S C_ X ) )
4	3	biimpar 502	. 2 |- ( ( C e. (ACS ` X ) /\ S C_ X ) -> S e. ~P X )
5		isacs3lem 17166	. . . . 5 |- ( C e. (ACS ` X ) -> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) )
6		acsdrscl.f	. . . . . 6 |- F = (mrCls ` C )
7	6	isacs4lem 17168	. . . . 5 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) -> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. t e. ~P ~P X ( (toInc ` t ) e. Dirset -> ( F ` U. t ) = U. ( F " t ) ) ) )
8	6	isacs5lem 17169	. . . . 5 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. t e. ~P ~P X ( (toInc ` t ) e. Dirset -> ( F ` U. t ) = U. ( F " t ) ) ) -> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P X ( F ` s ) = U. ( F " ( ~P s i^i Fin ) ) ) )
9	5, 7, 8	3syl 18	. . . 4 |- ( C e. (ACS ` X ) -> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P X ( F ` s ) = U. ( F " ( ~P s i^i Fin ) ) ) )
10	9	simprd 479	. . 3 |- ( C e. (ACS ` X ) -> A. s e. ~P X ( F ` s ) = U. ( F " ( ~P s i^i Fin ) ) )
11	10	adantr 481	. 2 |- ( ( C e. (ACS ` X ) /\ S C_ X ) -> A. s e. ~P X ( F ` s ) = U. ( F " ( ~P s i^i Fin ) ) )
12		fveq2 6191	. . . 4 |- ( s = S -> ( F ` s ) = ( F ` S ) )
13		pweq 4161	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ~P s = ~P S )
14	13	ineq1d 3813	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ~P s i^i Fin ) = ( ~P S i^i Fin ) )
15	14	imaeq2d 5466	. . . . 5 |- ( s = S -> ( F " ( ~P s i^i Fin ) ) = ( F " ( ~P S i^i Fin ) ) )
16	15	unieqd 4446	. . . 4 |- ( s = S -> U. ( F " ( ~P s i^i Fin ) ) = U. ( F " ( ~P S i^i Fin ) ) )
17	12, 16	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( s = S -> ( ( F ` s ) = U. ( F " ( ~P s i^i Fin ) ) <-> ( F ` S ) = U. ( F " ( ~P S i^i Fin ) ) ) )
18	17	rspcva 3307	. 2 |- ( ( S e. ~P X /\ A. s e. ~P X ( F ` s ) = U. ( F " ( ~P s i^i Fin ) ) ) -> ( F ` S ) = U. ( F " ( ~P S i^i Fin ) ) )
19	4, 11, 18	syl2anc 693	1 |- ( ( C e. (ACS ` X ) /\ S C_ X ) -> ( F ` S ) = U. ( F " ( ~P S i^i Fin ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   dom cdm 5114   "cima 5117   ` cfv 5888   Fincfn 7955  Moorecmre 16242  mrClscmrc 16243  ACScacs 16245  Dirsetcdrs 16927  toInccipo 17151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ocomp 15963  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-drs 16929  df-poset 16946  df-ipo 17152

This theorem is referenced by:  acsficld  17175